Перемещения в балках при изгибе

Виды перемещений при изгибе

Упругая линия балки – ось балки после деформации.

Прогиб балки $y$ – поступательное перемещение центра тяжести в поперечном направлении балки. Прогиб вверх считаем положительным, вниз –’емким.

Уравнение упругой линии – математическая запись зависимости $y(x)$ (прогиба по длине балки).

Стрела прогиба $f = {y_{\max }}$ – максимальное по длине значение прогиба балки.

Угол поворота сечения $\varphi $ – угол, на который поворачивается сечение в процессе деформирования балки. Угол поворота считаем положительным, если сечение поворачивается против часовой стрелки, и наоборот.

Угол поворота сечения равен углу наклона упругой линии. Таким образом, функция изменения угла поворота по длине балки равна первой производной от функции прогибов $\varphi (x) = y'(x)$.

Таким образом, при изгибе рассматриваем два вида перемещений – прогиб и угол поворота сечения.

Цель определения перемещений

Перемещение в стержневых системах (в частности в балках) определяются для обеспечения условий жесткости (прогибы ограничиваются строительными нормами).

Кроме этого, определение перемещений необходимо для расчета прочности статически невыдающихся систем.

Дифференциальное уравнение упругой линии (изогнутой оси) балки

На данном этапе необходимо установить зависимость перемещений в балке от внешних нагрузок, способа закрепления, размеров балки и материала. Для полного решения задачи необходимо получить функцию прогибов $y(x)$ по всей длине балки. Вполне очевидно, что перемещения в балке зависят от деформаций каждого сечения. Ранее нами была получена зависимость кривизны сечения балки от изгибающего момента, действующего в этом сечении.

$\frac{1}{\rho } = \frac{M}{{EI}}$.

Кривизна линии определяется ее уравнением $y(x)$ так

$\frac{1}{\rho } = \frac{{y}}{{{{\left( {1 + {{\left( {y'} \right)}^2}} \right)}^{3/2}}}}$ ,

где $y'$ и $y$ – соответственно, первая и вторая производная от функции прогибов с координатой x.

С практической точки зрения эту запись можно упростить. На самом деле $y' = \varphi $ – угол поворота сечения в реальных конструкциях не может быть большим, как правило не больше 1град = 0,017рад. Тогда $1 + {\left( {y'} \right)^2} = 1 + {0.017^2} = 1.000289 \approx 1$, то есть можно считать, что $\frac{1}{\rho } = y" = \frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}$. Таким образом, мы получили уравнение упругой линии балки (дифференциальное уравнение изогнутой оси балки). Это уравнение впервые получено Эйлером.

$\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \frac{{M(x)}}{{EI}}.$

Получена дифференциальная зависимость показывает взаимосвязи между перемещениями и внутренними усилиями в балках. Учитывая дифференциальную зависимость между поперечной силой, изгибающим моментом и поперечной нагрузкой, покажем содержание производных от функции прогибов.

$y(x)$ – функция прогибов;

$y'(x) = \varphi (x)$ – функция углов поворота;

$EI \cdot y"(x) = M(x)$ – функция изменения изгибающего момента;

$EI \cdot y"'(x) = M'(x) = Q(x)$ – функция изменения поперечной силы;

$EI \cdot {y^{IV}}(x) = M"(x) = q(x)$ – функция изменения поперечной нагрузки.