Уравнения метода начальных параметров

Метод начальных параметров, как и метод интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки служит для определения прогибов и углов поворота.

Основным преимуществом метода начальных параметров является его доступность для определения перемещений в балках с несколькими участками.

Рассмотрим часть балки и попытаемся получить зависимость перемещений $y(x)$ в произвольном сечении $C$ с координатой $x$. Поскольку в начале балки (до точки $B$) нет никаких усилий, ось балки на участке $AB$ остается прямой.

Запишем дифференциальное уравнение изогнутой оси балки.

$EI \cdot y"(x) = M(x)$

Для участка $BC$ уравнение изгибающих моментов запишется как $M(x) = M$. Тогда

$EI \cdot y"(x) = M(x) = M$

$EI \cdot y'(x) = EI \cdot \varphi (x) = M \cdot x + C$

Поскольку угол поворота в начале участка $BC$ известен (он равен ${\varphi _0}$), постоянная $C$ найдем так

$EI \cdot \varphi ({x_M}) = M \cdot {x_M} + C = EI \cdot {\varphi _0}$

$C = EI \cdot {\varphi _0} - M \cdot {x_M}$

$EI \cdot y'(x) = EI \cdot \varphi (x) = M \cdot x + EI \cdot {\varphi _0} - M \cdot {x_M}$$EI \cdot y'(x) = EI \cdot \varphi (x) = EI \cdot {\varphi _0} + M \cdot (x - {x_M})$

Таким образом, получена зависимость угла поворота на участке балки от действия изгибающего момента.

Проінтегруємо еще раз полученное уравнение.

$EI \cdot y(x) = EI \cdot {\varphi _0} \cdot x + M \cdot \frac{{{{(x - {x_M})}^2}}}{2} + D$

Прогиб на участке $BC$ известный в точке $B$ – $y({x_0}) = {y_0} + {\varphi _0} \cdot {x_M}$. Тогда

$EI \cdot y({x_M}) = EI \cdot {\varphi _0} \cdot {x_M} + M \cdot \frac{{{{({x_M} - {x_M})}^2}}}{2} + D = EI \cdot {y_0} + EI \cdot {\varphi _0} \cdot {x_M}$.

Отсюда $D = EI \cdot {y_0}$.

$EI \cdot y(x) = EI \cdot {y_0} + EI \cdot {\varphi _0} \cdot x + M \cdot \frac{{{{(x - {x_M})}^2}}}{2}$.

В случае приложения сосредоточенной силы в точке $B$ (рис. 4.2) уравнения изгибающих моментов на участке $BC$ будет таким: $M(x) = F \cdot (x - {x_F})$.

Далее выполняем такие же преобразования, как и в предыдущем случае.

$EI \cdot y"(x) = M(x) = F \cdot (x - {x_F})$

$EI \cdot y'(x) = EI \cdot \varphi (x) = F \cdot \frac{{{{(x - {x_F})}^2}}}{2} + C$

$EI \cdot \varphi ({x_F}) = F \cdot \frac{{{{({x_F} - {x_F})}^2}}}{2} + C = EI \cdot {\varphi _0}$

$C = EI \cdot {\varphi _0}$

\[EI \cdot y'(x) = EI \cdot \varphi (x) = EI \cdot {\varphi _0} + F \cdot \frac{{{{(x - {x_F})}^2}}}{2}\]

$EI \cdot y(x) = EI \cdot {\varphi _0} \cdot x + F \cdot \frac{{{{(x - {x_0})}^3}}}{2} + D$

$EI \cdot y({x_0}) = EI \cdot {\varphi _0} \cdot {x_0} + F \cdot \frac{{{{({x_F} - {x_F})}^3}}}{6} + D = EI \cdot {y_0} + EI \cdot {\varphi _0} \cdot {x_F}$.

$D = EI \cdot {y_0}$.

$EI \cdot y(x) = EI \cdot {y_0} + EI \cdot {\varphi _0} \cdot x + F \cdot \frac{{{{(x - {x_F})}^3}}}{6}$.

 

В случае приложения на участке $BC$ равномерно распределенной нагрузки (рис. 4.3) уравнения изгибающих моментов будет таким:

$M(x) = \frac{{q \cdot {{(x - {x_q})}^2}}}{2}$.

После аналогичных преобразований имеем

\[EI \cdot \varphi (x) = EI \cdot {\varphi _0} + q \cdot \frac{{{{(x - {x_q})}^3}}}{6}\].

$EI \cdot y(x) = EI \cdot {y_0} + EI \cdot {\varphi _0} \cdot x + q \cdot \frac{{{{(x - {x_q})}^4}}}{{24}}$.

В общем случае (при любой комбинации нагрузок) уравнения углов поворота и прогибов запишутся так:

 

\[\begin{gathered}   EI \cdot \varphi (x) = EI \cdot {\varphi _0} + M \cdot (x - {x_M}) + F \cdot \frac{{{{(x - {x_F})}^2}}}{2} + q \cdot \frac{{{{(x - {x_q})}^3}}}{6}; \hfill \\   EI \cdot y(x) = EI \cdot {y_0} + EI \cdot {\varphi _0} \cdot x + M \cdot \frac{{{{(x - {x_M})}^2}}}{2} + F \cdot \frac{{{{(x - {x_F})}^3}}}{6} + q \cdot \frac{{{{(x - {x_q})}^4}}}{{24}}. \hfill \\   \end{gathered} \]

В полученные уравнения подставляются только те нагрузки, которые находятся слева от сечения, что рассматривается. Знаки слагаемых, входящих в уравнение, такие же, как и в уравнении изгибающих моментов.

Таким образом, определение перемещений по методу начальных параметров сводится в первую очередь к определению величин начальных параметров (${\varphi _0}$, ${y_0}$), которые определяются из условий закрепления балки.

При решении задач по этому методу, начало системы координат размещают в крайней левой точке балки. Начальные параметры представляют собой прогиб и угол поворота при $x = 0$, то есть в начале балки.

Примеры определения перемещений методом начальных параметров

Консольная балка с силой на конце

На левой опоре возникают реакции – вертикальная сила $F$ и момент $M = F \cdot l$.

В этом случае начальные параметры равны нулю, что очевидно из условий закрепления.

Уравнения углов поворота и прогибов запишутся так:

\[\begin{gathered}   EI \cdot \varphi (x) = 0 - F \cdot l \cdot (x - 0) + F \cdot \frac{{{{(x - 0)}^2}}}{2}; \hfill \\  EI \cdot y(x) = 0 + 0 - F \cdot l \cdot \frac{{{{(x - 0)}^2}}}{2} + F \cdot \frac{{{{(x - 0)}^3}}}{6}. \hfill \\\end{gathered} \]

Максимальный прогиб и угол поворота будут иметь место при $x = l$

$\begin{gathered}  EI\,y(l) =  - F \cdot l \cdot \frac{{{l^2}}}{2} + F \cdot \frac{{{l^3}}}{6} =  - F\frac{{{l^3}}}{3}; \hfill \\  EI\,\varphi (l) =  - F \cdot l \cdot l + F \cdot \frac{{{l^2}}}{2} =  - F\frac{{{l^2}}}{2}. \hfill \\\end{gathered} $

 

Шарнирная балка с силой посередине

На опорах возникают вертикальные реакции ${R_A} = {R_B} = F/2$.

Начальный прогиб равен нулю ${y_0} = 0$, начальный угол поворота не равен нулю ${\varphi _0} \ne 0$, он может быть определен из уравнения метода начальных параметров, которое записано для сечения, в котором известно одно из перемещений.

Запищемо рівніння прогибов на правой опоре.

\[EI \cdot y(l) = EI \cdot {y_0} + EI \cdot {\varphi _0} \cdot l + \frac{F}{2} \cdot \frac{{{{(l - 0)}^3}}}{6} - F \cdot \frac{{{{(l - l/2)}^3}}}{6} = 0.\]

\[0 + EI \cdot {\varphi _0} \cdot l + \frac{{F \cdot {l^3}}}{{12}} - \frac{{F \cdot {l^3}}}{{48}} = EI \cdot {\varphi _0} \cdot l + \frac{{F \cdot {l^3}}}{{16}} = 0.\]

\[{\varphi _0} =  - \frac{{F \cdot {l^2}}}{{16EI}}\] – начальный угол поворота.

Прогиб посредине пролета (при x = l/2$)

\[EI \cdot y(l/2) =  - \frac{{F \cdot {l^2}}}{{16}} \cdot \frac{l}{2} + \frac{F}{2} \cdot \frac{{{{(l/2)}^3}}}{6} = F \cdot {l^3} \cdot \left( { - \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{96}}} \right) =  - \frac{{F \cdot {l^3}}}{{48}}\],

то есть стрела прогиба составляет $f = \frac{{F \cdot {l^3}}}{{48EI}}$