Промежуточные результаты в короткой форме

Элемент	x	y	A	x-xc	y-yc	Ix	Iy	Ixy
sw 12	17	10	13.3	0	-5	304	31.2	0
rect	17	15.04	7	0	0.04	28.6	0.583	0
dw 14	17	18.79	17.4	0	3.79	572	41.9	0

Расчет составного сечения

Определим собственные характеристики каждого элемента, характеристики прокатных профилей выписываем из сортамента, характеристики простых фигур вычисляем по формулам

Элемент 1 - Швеллер 12 :
Ширина сечения 5.2 см
Высота сечения 12 см
Толщина полки 0.78 см
Толщина стенки 0.48 см
Площадь A=13.3 см²
Моменты инерции Ix=304 см⁴, Iy=31.2 см⁴
Положение центра тяжести xc=1.54 см
С учетом расположения элемента относительно чертежа

I_x=31 см⁴, I_y=304 см⁴, I_xy=0 см⁴

Элемент 2 - Прямоугольник 1 x 7 см:
Площадь

A=1*7=7 см²

Моменты инерции

I_x=1*7³ / 12=28.6 см⁴

I_y=1³*7 / 12=0.583 см⁴

Элемент 3 - Двутавр 14 :
Ширина сечения 7.3 см
Высота сечения 14 см
Толщина полки 0.75 см
Толщина стенки 0.49 см
Площадь A=17.4 см²
Моменты инерции Ix=572 см⁴, Iy=41.9 см⁴
С учетом расположения элемента относительно чертежа

I_x=42 см⁴, I_y=572 см⁴, I_xy=0 см⁴

Общая площадь сечения равна сумме площадей отдельных фигур

A = + 13.3 + 7 + 17.4 = 37.7 см²

Проводим дополнительные оси, относительно которых определим центр тяжести всей фигуры.

Показываем на чертеже центры тяжести каждой фигуры и находим их координаты в дополнительных осях.

a₁ = 17 см; b₁ = 10 см

a₂ = 17 см; b₂ = 15.04 см

a₃ = 17 см; b₃ = 18.79 см

Центр тяжести сечения определим по формуле

Xc = ΣX_i*A_i / A

Yc = ΣY_i*A_i / A

X_C = (+X₁*A₁+X₂*A₂+X₃*A₃) / A = ( + 17*13.3 + 17*7 + 17*17.4) / 37.7 = 17 см

Y_C = (+Y₁*A₁+Y₂*A₂+Y₃*A₃) / A = ( + 10*13.3 + 15.04*7 + 18.79*17.4) / 37.7 = 15 см

Используя эти значения, указываем положение центра тяжести всей фигуры и проводим через него центральные оси

Находим координаты центров тяжести элементов в центральных осях

a₁ = 17-17 = 0 см

b₁ = 10-15 = -5 см

a₂ = 17-17 = 0 см

b₂ = 15.04-15 = 0.04 см

a₃ = 17-17 = 0 см

b₃ = 18.79-15 = 3.79 см

Центральные осевые моменты инерции сечения находим, используя формулу перехода между параллельными осями

I_x = Σ(I_X^{собств.} + b² *A) = +(31+5²*13.3)+(29+0.04²*7)+(42+3.79²*17.4) = 684 см⁴

I_y = Σ(I_Y^{собств.} + a² *A) = +(304+0²*13.3)+(0.58+0²*7)+(572+0²*17.4) = 877 см⁴

I_xy = Σ(I_XY^{собств.} + a*b*A) = +(0+(-5)*0*13.3)+(0+0.04*0*7)+(0+3.79*0*17.4) = 0 см⁴

Угол наклона главных центральных осей

tg2α=2*I_xy / (I_y-I_x)=2*0 / (877-684)=0

α = arctg(0) / 2 = 0°

Главные моменты инерции - это моменты инерции относительно главных осей.

I_X0 = I_x*cos²(α) + I_y*sin²(α) - I_xy*sin(2*α) =

= 684*cos²(0°) + 877*sin²(0°) - 2*0*sin(2*0°) = 684 см⁴

I_Y0 = I_y*cos²(α) + I_x*sin²(α) + I_xy*sin(2*α) =

= 877*cos²(0°) + 684*sin²(0°) + 2*0*sin(2*0°) = 877 см⁴

Радиусы инерции

i_x² = I_X0 / A = 684 / 37.7 = 18.14

i_x = 4.26 см

i_y² = I_Y0 / A = 877 / 37.7 = 23.26

i_y = 4.82 см