Промежуточные результаты в короткой форме

Расчет составного сечения

Определим собственные характеристики каждого элемента, характеристики прокатных профилей выписываем из сортамента, характеристики простых фигур вычисляем по формулам

A=20*20=400 см²

I_x=20*20³ / 12=13330 см⁴

I_y=20³*20 / 12=13330 см⁴

A=π*d² / 4=π*7² / 4=38.5 см²

I_x=I_y=π*d⁴ / 64=π*7⁴ / 64=118 см⁴

A=12*10 / 2=60 см²

I_x=12*10³ / 36=333 см⁴

I_y=12³*10 / 48=360 см⁴

I_x=360 см⁴, I_y=333 см⁴, I_xy=0 см⁴

Общая площадь сечения равна сумме площадей отдельных фигур

A = + 400 - 38.5 + 60 = 421.5 см²

Проводим дополнительные оси, относительно которых определим центр тяжести всей фигуры.

Показываем на чертеже центры тяжести каждой фигуры и находим их координаты в дополнительных осях.

a₁ = 10 см; b₁ = 10 см

a₂ = 10 см; b₂ = 4 см

a₃ = 23.33 см; b₃ = 14 см

Центр тяжести сечения определим по формуле

Xc = ΣX_i*A_i / A

Yc = ΣY_i*A_i / A

X_C = (+X₁*A₁+X₂*A₂+X₃*A₃) / A = ( + 10*400 + 10*(-38.5) + 23.33*60) / 421.5 = 11.9 см

Y_C = (+Y₁*A₁+Y₂*A₂+Y₃*A₃) / A = ( + 10*400 + 4*(-38.5) + 14*60) / 421.5 = 11.1 см

Используя эти значения, указываем положение центра тяжести всей фигуры и проводим через него центральные оси

Находим координаты центров тяжести элементов в центральных осях

a₁ = 10-11.9 = -1.9 см

b₁ = 10-11.1 = -1.1 см

a₂ = 10-11.9 = -1.9 см

b₂ = 4-11.1 = -7.1 см

a₃ = 23.33-11.9 = 11.4 см

b₃ = 14-11.1 = 2.9 см

Центральные осевые моменты инерции сечения находим, используя формулу перехода между параллельными осями

I_x = Σ(I_X^{собств.} + b² *A) = +(13300+1.1²*400)-(118+7.1²*38.5)+(360+2.9²*60) = 12590 см⁴

I_y = Σ(I_Y^{собств.} + a² *A) = +(13300+1.9²*400)-(118+1.9²*38.5)+(333+11.4²*60) = 22620 см⁴

I_xy = Σ(I_XY^{собств.} + a*b*A) = +(0+(-1.1)*(-1.9)*400)-(0+(-7.1)*(-1.9)*38.5)+(0+2.9*11.4*60) = 2300 см⁴

Угол наклона главных центральных осей

tg2α=2*I_xy / (I_y-I_x)=2*2300 / (22620-12590)=0.46

α = arctg(0.46) / 2 = 12.6°

Положительный угол поворота откладываем против часовой стрелки

Главные моменты инерции - это моменты инерции относительно главных осей.

I_X0 = I_x*cos²(α) + I_y*sin²(α) - I_xy*sin(2*α) =

= 12590*cos²(12.6°) + 22620*sin²(12.6°) - 2*2300*sin(2*12.6°) = 12090 см⁴

I_Y0 = I_y*cos²(α) + I_x*sin²(α) + I_xy*sin(2*α) =

= 22620*cos²(12.6°) + 12590*sin²(12.6°) + 2*2300*sin(2*12.6°) = 23120 см⁴

Радиусы инерции

i_x² = I_X0 / A = 12090 / 421.5 = 28.68

i_x = 5.36 см

i_y² = I_Y0 / A = 23120 / 421.5 = 54.85

i_y = 7.41 см