Промежуточные результаты в короткой форме

Элемент	x	y	A	x-xc	y-yc	Ix	Iy	Ixy
dw 20	5	10	26.8	-7	-3.7	1840	115	0
sw 20	20	17.93	23.4	8	4.23	1520	113	0

Расчет составного сечения

Определим собственные характеристики каждого элемента, характеристики прокатных профилей выписываем из сортамента, характеристики простых фигур вычисляем по формулам

Элемент 1 - Двутавр 20 :
Ширина сечения 10 см
Высота сечения 20 см
Толщина полки 0.84 см
Толщина стенки 0.52 см
Площадь A=26.8 см²
Моменты инерции Ix=1840 см⁴, Iy=115 см⁴

Элемент 2 - Швеллер 20 :
Ширина сечения 7.6 см
Высота сечения 20 см
Толщина полки 0.9 см
Толщина стенки 0.52 см
Площадь A=23.4 см²
Моменты инерции Ix=1520 см⁴, Iy=113 см⁴
Положение центра тяжести xc=2.07 см
С учетом расположения элемента относительно чертежа

I_x=113 см⁴, I_y=1520 см⁴, I_xy=0 см⁴

Общая площадь сечения равна сумме площадей отдельных фигур

A = + 26.8 + 23.4 = 50.2 см²

Проводим дополнительные оси, относительно которых определим центр тяжести всей фигуры.

Показываем на чертеже центры тяжести каждой фигуры и находим их координаты в дополнительных осях.

a₁ = 5 см; b₁ = 10 см

a₂ = 20 см; b₂ = 17.93 см

Центр тяжести сечения определим по формуле

Xc = ΣX_i*A_i / A

Yc = ΣY_i*A_i / A

X_C = (+X₁*A₁+X₂*A₂) / A = ( + 5*26.8 + 20*23.4) / 50.2 = 12 см

Y_C = (+Y₁*A₁+Y₂*A₂) / A = ( + 10*26.8 + 17.93*23.4) / 50.2 = 13.7 см

Используя эти значения, указываем положение центра тяжести всей фигуры и проводим через него центральные оси

Находим координаты центров тяжести элементов в центральных осях

a₁ = 5-12 = -7 см

b₁ = 10-13.7 = -3.7 см

a₂ = 20-12 = 8 см

b₂ = 17.93-13.7 = 4.23 см

Центральные осевые моменты инерции сечения находим, используя формулу перехода между параллельными осями

I_x = Σ(I_X^{собств.} + b² *A) = +(1840+3.7²*26.8)+(113+4.23²*23.4) = 2739 см⁴

I_y = Σ(I_Y^{собств.} + a² *A) = +(115+7²*26.8)+(1520+8²*23.4) = 4446 см⁴

I_xy = Σ(I_XY^{собств.} + a*b*A) = +(0+(-3.7)*(-7)*26.8)+(0+4.23*8*23.4) = 1486 см⁴

Угол наклона главных центральных осей

tg2α=2*I_xy / (I_y-I_x)=2*1486 / (4446-2739)=1.74

α = arctg(1.74) / 2 = 29.8°

Положительный угол поворота откладываем против часовой стрелки

Главные моменты инерции - это моменты инерции относительно главных осей.

I_X0 = I_x*cos²(α) + I_y*sin²(α) - I_xy*sin(2*α) =

= 2739*cos²(29.8°) + 4446*sin²(29.8°) - 2*1486*sin(2*29.8°) = 1879 см⁴

I_Y0 = I_y*cos²(α) + I_x*sin²(α) + I_xy*sin(2*α) =

= 4446*cos²(29.8°) + 2739*sin²(29.8°) + 2*1486*sin(2*29.8°) = 5306 см⁴

Радиусы инерции

i_x² = I_X0 / A = 1879 / 50.2 = 37.43

i_x = 6.12 см

i_y² = I_Y0 / A = 5306 / 50.2 = 105.7

i_y = 10.3 см