Промежуточные результаты в короткой форме

Элемент	x	y	A	x-xc	y-yc	Ix	Iy	Ixy
circ	0	0	50.2	-0.025	-4.11	201	201	0
dw 20	8.825	10.09	26.8	8.8	5.98	1840	115	0
sw 20	-10	6.07	23.4	-10	1.96	1520	113	0

Расчет составного сечения

Определим собственные характеристики каждого элемента, характеристики прокатных профилей выписываем из сортамента, характеристики простых фигур вычисляем по формулам

Элемент 1 - Круг диаметром 8 см:
Площадь

A=π*d² / 4=π*8² / 4=50.2 см²

Моменты инерции

I_x=I_y=π*d⁴ / 64=π*8⁴ / 64=201 см⁴

Элемент 2 - Двутавр 20 :
Ширина сечения 10 см
Высота сечения 20 см
Толщина полки 0.84 см
Толщина стенки 0.52 см
Площадь A=26.8 см²
Моменты инерции Ix=1840 см⁴, Iy=115 см⁴
С учетом расположения элемента относительно чертежа

I_x=1840 см⁴, I_y=116 см⁴, I_xy=-30 см⁴

Элемент 3 - Швеллер 20 :
Ширина сечения 7.6 см
Высота сечения 20 см
Толщина полки 0.9 см
Толщина стенки 0.52 см
Площадь A=23.4 см²
Моменты инерции Ix=1520 см⁴, Iy=113 см⁴
Положение центра тяжести xc=2.07 см
С учетом расположения элемента относительно чертежа

I_x=113 см⁴, I_y=1520 см⁴, I_xy=0 см⁴

Общая площадь сечения равна сумме площадей отдельных фигур

A = + 50.2 + 26.8 + 23.4 = 100.4 см²

Проводим дополнительные оси, относительно которых определим центр тяжести всей фигуры.

Показываем на чертеже центры тяжести каждой фигуры и находим их координаты в дополнительных осях.

a₁ = 0 см; b₁ = 0 см

a₂ = 8.825 см; b₂ = 10.09 см

a₃ = -10 см; b₃ = 6.07 см

Центр тяжести сечения определим по формуле

Xc = ΣX_i*A_i / A

Yc = ΣY_i*A_i / A

X_C = (+X₁*A₁+X₂*A₂+X₃*A₃) / A = ( + 0*50.2 + 8.825*26.8 - 10*23.4) / 100.4 = 0.025 см

Y_C = (+Y₁*A₁+Y₂*A₂+Y₃*A₃) / A = ( + 0*50.2 + 10.09*26.8 + 6.07*23.4) / 100.4 = 4.11 см

Используя эти значения, указываем положение центра тяжести всей фигуры и проводим через него центральные оси

Находим координаты центров тяжести элементов в центральных осях

a₁ = 0-0.025 = -0.025 см

b₁ = 0-4.11 = -4.11 см

a₂ = 8.825-0.025 = 8.8 см

b₂ = 10.09-4.11 = 5.98 см

a₃ = -10-0.025 = -10 см

b₃ = 6.07-4.11 = 1.96 см

Центральные осевые моменты инерции сечения находим, используя формулу перехода между параллельными осями

I_x = Σ(I_X^{собств.} + b² *A) = +(201+4.11²*50.2)+(1840+5.98²*26.8)+(113+1.96²*23.4) = 4050 см⁴

I_y = Σ(I_Y^{собств.} + a² *A) = +(201+0.025²*50.2)+(116+8.8²*26.8)+(1520+10²*23.4) = 6252 см⁴

I_xy = Σ(I_XY^{собств.} + a*b*A) = +(0+(-4.11)*(-0.025)*50.2)+(-30+5.98*8.8*26.8)+(0+1.96*(-10)*23.4) = 927 см⁴

Угол наклона главных центральных осей

tg2α=2*I_xy / (I_y-I_x)=2*927 / (6252-4050)=0.84

α = arctg(0.84) / 2 = 20.1°

Положительный угол поворота откладываем против часовой стрелки

Главные моменты инерции - это моменты инерции относительно главных осей.

I_X0 = I_x*cos²(α) + I_y*sin²(α) - I_xy*sin(2*α) =

= 4050*cos²(20.1°) + 6252*sin²(20.1°) - 2*927*sin(2*20.1°) = 3712 см⁴

I_Y0 = I_y*cos²(α) + I_x*sin²(α) + I_xy*sin(2*α) =

= 6252*cos²(20.1°) + 4050*sin²(20.1°) + 2*927*sin(2*20.1°) = 6590 см⁴

Радиусы инерции

i_x² = I_X0 / A = 3712 / 100.4 = 36.97

i_x = 6.08 см

i_y² = I_Y0 / A = 6590 / 100.4 = 65.64

i_y = 8.1 см