Расчет вала на прочность и жесткость - пример

Для заданного вала подобрать диаметры участков и построить эпюру углов закручивания. Материал вала – сталь Ст20ХН.

Для подбора диаметра вала необходимо определить крутящие моменты на отдельных участках. Крутящие моменты определяем методом сечений всех участков:

– участок 1:     МІ = M1 = 200Н∙м

– участок 2:     MII =M1+M2 = 200+189 = 389 Н∙м

– участок 3:     МІІІ =M1+M2-M3 = 200+189-133 = 256 Н∙м

– участок 4:     МIV = M1+M2-M3-M4 = 200+189-133-222 = 34Н∙м.

Для заданного материала Ст20ХН предел прочности равен sT = 450МПа, допустимые нормальные напряжения [s] = 250 МПа, допускаемые касательные напряжения [t] = 0,57∙[s] = $0.57 \cdot 250$ = 142 МПа.

Диаметр вала определяется из условия прочности $d = \sqrt[3]{{\frac{{16 \cdot M}}{{\pi  \cdot [\tau ]}}}}$.

Определяем для каждого участка

${d_1} = \sqrt[3]{{\frac{{16 \cdot 200}}{{\pi  \cdot 142}}}} = 1,92$ см       ${d_2} = \sqrt[3]{{\frac{{16 \cdot 389}}{{\pi  \cdot 142}}}} = 2,4$ см

${d_3} = \sqrt[3]{{\frac{{16 \cdot 256}}{{\pi  \cdot 142}}}} = 2,09$ см         ${d_4} = \sqrt[3]{{\frac{{16 \cdot 34}}{{\pi  \cdot 142}}}} = 1,07$ см

Округляем эти значения диаметров до целых чисел (в миллиметрах)

d1  = 20 мм   d2  = 24 мм   d3  = 21 мм   d4  = 11 мм  

Угол закручивания определим по формуле

$\phi=\frac{M_k l}{G J_\rho} = \frac{32*M_k*l}{\pi*G*d^4}$

где $G = 7,8 \cdot {10^{10}}$Па – модуль сдвига стали.

${I_\rho } = \frac{{\pi  \cdot {d^4}}}{{32}}$ – полярный момент инерции круглого сечения.

${\varphi _1} = \frac{{32 \cdot 200 \cdot 1,2}}{{\pi  \cdot 7,8 \cdot {{10}^{10}} \cdot {{0,02}^4}}} = 0,196$ рад.

${\varphi _2} = \frac{{32 \cdot 389 \cdot 1}}{{\pi  \cdot 7,8 \cdot {{10}^{10}} \cdot {{0,024}^4}}} = 0,153$ рад.

${\varphi _3} = \frac{{32 \cdot 256 \cdot 1,2}}{{\pi  \cdot 7,8 \cdot {{10}^{10}} \cdot {{0,021}^4}}} = 0,207$ рад.

${\varphi _4} = \frac{{32 \cdot 34 \cdot 1,5}}{{\pi  \cdot 7,8 \cdot {{10}^{10}} \cdot {{0,011}^4}}} = 0,457$ рад.

Строим эпюру углов закручивания, начиная от левого конца стержня. Угол закручивания правого относительно левого конца

${\varphi }$ =  0,196+0,153+0,207+0,457 = 1,01 рад..