Расчет балки

Расчет статически неопределимой балки

Поскольку данная балка является статически неопределимой, для нее нельзя определить внутренние усилия и реакции опор только методами статики (с помощью уравнений равновесия).

Как правило, для таких случаев сначала следует раскрыть статическую неопределимость, используя один из методов:

• метод сил
• метод уравнения трех моментов
• метод интегрирования дифференциального уравнения изгиба

При раскрытии статической неопределимости определяются некоторые параметры (реакции опор либо опорные моменты), имея которые дальнейший расчет уже возможен с помощью уравнений равновесия.

Будем считать, что статическая неопределимость раскрыта и эпюры уже построены

Записываем уравнения поперечных сил и изгибающих моментов на участках балки , используя метод сечений

На участке AB: (0 ≤ z₁ ≤ 2 м )

Q(z₁) = + R_A = + 2.889 = 2.889 кН

M(z₁) = + R_A · z = + 2.889 · z

M(0) = -0 кНм

M(2) = 5.778 кНм

На участке BC: (2 ≤ z₂ ≤ 3 м )

Q(z₂) = + R_A - P - q₁·(z - 2) = + 2.889 - 12 - 6·(z - 2)

Q(2) = -9.111 кН

Q(3) = -15.111 кН

M(z₂) = + R_A · z - P·(z - 2) - q₁·(z - 2)²/2 = + 2.889 · z - 12·(z - 2) - 6·(z - 2)²/2

M(2) = 5.778 кНм

M(3) = -6.333 кНм

На участке CD: (3 ≤ z₃ ≤ 4 м )

Q(z₃) = + R_A + R_C - P - q₁·(z - 2) = + 2.889 + 23.56 - 12 - 6·(z - 2)

Q(3) = 8.444 кН

Q(4) = 2.444 кН

M(z₃) = + R_A · z + R_C · (z - 3) - P·(z - 2) - q₁·(z - 2)²/2 = + 2.889 · z + 23.56 · (z - 3) - 12·(z - 2) - 6·(z - 2)²/2

M(3) = -6.333 кНм

M(4) = -0.889 кНм

На участке DE: (4 ≤ z₄ ≤ 4.5 м )

Q(z₄) = + R_A + R_C - P - Q₁ = + 2.889 + 23.56 - 12 - 12 = 2.444 кН

M(z₄) = + R_A · z + R_C · (z - 3) - P·(z - 2) - Q₁·(z - 3) = + 2.889 · z + 23.56 · (z - 3) - 12·(z - 2) - 12·(z - 3)

M(4) = -0.889 кНм

M(4.5) = 0.333 кНм

На участке EF: (4.5 ≤ z₅ ≤ 5 м )

Q(z₅) = + R_A + R_C - R_E - P - Q₁ = + 2.889 + 23.56 - 8 - 12 - 12 = -5.556 кН

M(z₅) = + R_A · z + R_C · (z - 3) - R_E · (z - 4.5) - P·(z - 2) - Q₁·(z - 3) = + 2.889 · z + 23.56 · (z - 3) - 8 · (z - 4.5) - 12·(z - 2) - 12·(z - 3)

M(4.5) = 0.333 кНм

M(5) = -2.444 кНм

На участке FK: (5 ≤ z₆ ≤ 6 м )

Q(z₆) = + R_A + R_C - R_E - P - Q₁ = + 2.889 + 23.56 - 8 - 12 - 12 = -5.556 кН

M(z₆) = + R_A · z + R_C · (z - 3) - R_E · (z - 4.5) - P·(z - 2) + M - Q₁·(z - 3) = + 2.889 · z + 23.56 · (z - 3) - 8 · (z - 4.5) - 12·(z - 2) + 8 - 12·(z - 3)

M(5) = 5.556 кНм

M(6) = -0 кНм

Максимальный момент в балке составляет M_max = 6.33 кНм. По этому значению подбираем сечение балки.

Условие прочности при изгибе σ = M_max / W ≤ [σ]

Отсюда, минимально необходимый момент сопротивления вычисляем по формуле W_min=M_max / [σ]

Подбираем двутавровое сечение при допускаемом напряжении [σ] = 160 МПа
W_min=6330 / 160 = 39.5625 см³
Из сортамента выбираем двутавр №10 с моментом сопротивления W = 39.6 см³ и площадью A = 12 см²
Максимальные нормальные напряжения в двутавре составляют
σ_max = M_max/Wx = 6330/39.6 = 159.85 МПа
Максимальные касательные напряжения в двутавре (на центральной оси) составляют
τ_max = Q_max×Sx/b×Ix = 15100×20.43×10^-6/0.0045×198×10^-8 = 34.623×10⁶ Па = 34.623 МПа
Касательные напряжения на границе полки и стенки составляют
τ_max = Q_max×Sx'/b×Ix = 15100×18.37×10^-6/0.0045×198×10^-8 = 31.132×10⁶ Па = 31.132 МПа,
где статический момент отсеченной полки составляет
Sx'=b×t×(h-t)/2=5.5×0.72×(10-0.72)/2=18.37 см³.
Эпюры нормальных и касательных напряжений для двутавра:

Подбираем квадрат.
W_min=6330 / 160=40 см³
Момент сопротивления квадратного сечения
W=a³/6
Сторона квадрата будет такой a= 6.2 см
Площадь сечения A=a²=6.2²=38.44 см²

Записываем уравнения углов поворота и прогибов по методу начальных параметров

На участке AB: (0 ≤ z₁ ≤ 2 м )

EJ×φ(z) = EJ×φ₀ + R_A·z²/2

EJ×v(z) = EJ×v₀ + EJ×φ₀×z + R_A·z³/6

На участке BC: (2 ≤ z₂ ≤ 3 м )

EJ×φ(z) = EJ×φ₀ + R_A·z²/2 - P·(z - 2)²/2 - q₁·(z - 2)³/6

EJ×v(z) = EJ×v₀ + EJ×φ₀×z + R_A·z³/6 - P·(z - 2)³/6 - q₁·(z - 2)⁴/24

На участке CD: (3 ≤ z₃ ≤ 4 м )

EJ×φ(z) = EJ×φ₀ + R_A·z²/2 + R_C·(z - 3)²/2 - P·(z - 2)²/2 - q₁·(z - 2)³/6

EJ×v(z) = EJ×v₀ + EJ×φ₀×z + R_A·z³/6 + R_C·(z - 3)³/6 - P·(z - 2)³/6 - q₁·(z - 2)⁴/24

На участке DE: (4 ≤ z₄ ≤ 4.5 м )

EJ×φ(z) = EJ×φ₀ + R_A·z²/2 + R_C·(z - 3)²/2 - P·(z - 2)²/2 - q₁·(z - 2)³/6 + q₁·(z - 4)³/6

EJ×v(z) = EJ×v₀ + EJ×φ₀×z + R_A·z³/6 + R_C·(z - 3)³/6 - P·(z - 2)³/6 - q₁·(z - 2)⁴/24 + q₁·(z - 4)⁴/24

На участке EF: (4.5 ≤ z₅ ≤ 5 м )

EJ×φ(z) = EJ×φ₀ + R_A·z²/2 + R_C·(z - 3)²/2 - R_E·(z - 4.5)²/2 - P·(z - 2)²/2 - q₁·(z - 2)³/6 + q₁·(z - 4)³/6

EJ×v(z) = EJ×v₀ + EJ×φ₀×z + R_A·z³/6 + R_C·(z - 3)³/6 - R_E·(z - 4.5)³/6 - P·(z - 2)³/6 - q₁·(z - 2)⁴/24 + q₁·(z - 4)⁴/24

На участке FK: (5 ≤ z₆ ≤ 6 м )

EJ×φ(z) = EJ×φ₀ + R_A·z²/2 + R_C·(z - 3)²/2 - R_E·(z - 4.5)²/2 - P·(z - 2)²/2 + M· (z - 5) - q₁·(z - 2)³/6 + q₁·(z - 4)³/6

EJ×v(z) = EJ×v₀ + EJ×φ₀×z + R_A·z³/6 + R_C·(z - 3)³/6 - R_E·(z - 4.5)³/6 - P·(z - 2)³/6 + M· (z - 5)²/2 - q₁·(z - 2)⁴/24 + q₁·(z - 4)⁴/24

Из условий закрепления по этим уравнениям вычислим начальные параметры:

- начальный угол поворота φ₀ = -3.583 кНм²

- начальный прогиб балки v₀ = 0 кНм³

Найдем углы поворота и прогибы сечений на каждом участке

На участке AB

EJ×φ(0) = -3.583 кНм²

EJ×v(0) = 0 кНм³

EJ×φ(0.5) = -3.222 кНм²

EJ×v(0.5) = -1.731 кНм³

EJ×φ(1) = -2.139 кНм²

EJ×v(1) = -3.102 кНм³

EJ×φ(1.5) = -0.3333 кНм²

EJ×v(1.5) = -3.75 кНм³

EJ×φ(2) = 2.194 кНм²

EJ×v(2) = -3.315 кНм³

На участке BC

EJ×φ(2) = 2.194 кНм²

EJ×v(2) = -3.315 кНм³

EJ×φ(2.25) = 3.339 кНм²

EJ×v(2.25) = -2.61 кНм³

EJ×φ(2.5) = 3.819 кНм²

EJ×v(2.5) = -1.701 кНм³

EJ×φ(2.75) = 3.543 кНм²

EJ×v(2.75) = -0.7637 кНм³

EJ×φ(3) = 2.417 кНм²

EJ×v(3) = 0 кНм³

На участке CD

EJ×φ(3) = 2.417 кНм²

EJ×v(3) = 0 кНм³

EJ×φ(3.25) = 1.082 кНм²

EJ×v(3.25) = 0.4273 кНм³

EJ×φ(3.5) = 0.1806 кНм²

EJ×v(3.5) = 0.577 кНм³

EJ×φ(3.75) = -0.3802 кНм²

EJ×v(3.75) = 0.5459 кНм³

EJ×φ(4) = -0.6944 кНм²

EJ×v(4) = 0.4074 кНм³

На участке DE

EJ×φ(4) = -0.6944 кНм²

EJ×v(4) = 0.4074 кНм³

EJ×φ(4.125) = -0.7865 кНм²

EJ×v(4.125) = 0.3145 кНм³

EJ×φ(4.25) = -0.8403 кНм²

EJ×v(4.25) = 0.2124 кНм³

EJ×φ(4.375) = -0.8559 кНм²

EJ×v(4.375) = 0.106 кНм³

EJ×φ(4.5) = -0.8333 кНм²

EJ×v(4.5) = 0 кНм³

На участке EF

EJ×φ(4.5) = -0.8333 кНм²

EJ×v(4.5) = 0 кНм³

EJ×φ(4.625) = -0.8351 кНм²

EJ×v(4.625) = -0.1034 кНм³

EJ×φ(4.75) = -0.9236 кНм²

EJ×v(4.75) = -0.2124 кНм³

EJ×φ(4.875) = -1.099 кНм²

EJ×v(4.875) = -0.3379 кНм³

EJ×φ(5) = -1.361 кНм²

EJ×v(5) = -0.4907 кНм³

На участке FK

EJ×φ(5) = -1.361 кНм²

EJ×v(5) = -0.4907 кНм³

EJ×φ(5.25) = -0.1458 кНм²

EJ×v(5.25) = -0.6719 кНм³

EJ×φ(5.5) = 0.7222 кНм²

EJ×v(5.5) = -0.5926 кНм³

EJ×φ(5.75) = 1.243 кНм²

EJ×v(5.75) = -0.3397 кНм³

EJ×φ(6) = 1.417 кНм²

EJ×v(6) = 0 кНм³