Расчет балки

Расчетная схема №402105

[σ] =  МПа

[σ] =  МПа

[σ] =  МПа

[σ] =  МПа при d/D=

[σ] =  МПа при h/b=

Какие балки можно здесь расчитать?

Как поставить треугольную нагрузку?



Поскольку эта схема не Ваша, Вы не можете ее редактировать. Для редактирования создайте новую схему.


Подробный ход решения - расчет балки, построение эпюр

Заменим распределенную нагрузку равнодействующей

Q1 = 6·2 = 12кН

Составим уравнения равновесия для определения реакций опор

Σ MA = + P · 2 + M + Q1 · 3 - RE · 6= + 12 · 2 + 8 + 12 · 3 - RE · 6=0

Σ ME = - P · 4 + M - Q1 · 3 + RA · 6= - 12 · 4 + 8 - 12 · 3 + RA · 6=0

Из этих уравнений находим реакции опор

RA = 12.67кН.

RE = 11.33кН.

Записываем уравнения поперечных сил и изгибающих моментов на участках балки , используя метод сечений

На участке AB: (0 ≤ z1 ≤ 2 м )

Q(z1) = + RA = + 12.67 = 12.667 кН

M(z1) = + RA · z = + 12.67 · z

M(0) = 0 кНм

M(2) = 25.333 кНм

На участке BC: (2 ≤ z2 ≤ 4 м )

Q(z2) = + RA - P - q1·(z - 2) = + 12.67 - 12 - 6·(z - 2)

Q(2) = 0.667 кН

Q(4) = -11.333 кН

M(z2) = + RA · z - P·(z - 2) - q1·(z - 2)2/2 = + 12.67 · z - 12·(z - 2) - 6·(z - 2)2/2

M(2) = 25.333 кНм

M(4) = 14.667 кНм

Поскольку поперечная сила на участке пересекает ноль при z = 2.11 м, в этой точке будет экстремум на эпюре M

M(2.11) = 25.4 кНм

На участке CD: (4 ≤ z3 ≤ 5 м )

Q(z3) = + RA - P - Q1 = + 12.67 - 12 - 12 = -11.333 кН

M(z3) = + RA · z - P·(z - 2) - Q1·(z - 3) = + 12.67 · z - 12·(z - 2) - 12·(z - 3)

M(4) = 14.667 кНм

M(5) = 3.333 кНм

На участке DE: (5 ≤ z4 ≤ 6 м )

Q(z4) = + RA - P - Q1 = + 12.67 - 12 - 12 = -11.333 кН

M(z4) = + RA · z - P·(z - 2) + M - Q1·(z - 3) = + 12.67 · z - 12·(z - 2) + 8 - 12·(z - 3)

M(5) = 11.333 кНм

M(6) = 0 кНм

Максимальный момент в балке составляет Mmax = 25.4 кНм. По этому значению подбираем сечение балки.

Условие прочности при изгибе σ = Mmax / W ≤ [σ]

Отсюда, минимально необходимый момент сопротивления вычисляем по формуле Wmin=Mmax / [σ]


Подбираем двутавровое сечение при допускаемом напряжении [σ] = 160 МПа
Wmin=25400 / 160 = 158.75 см3
Из сортамента выбираем двутавр №20 с моментом сопротивления W = 184 см3 и площадью A = 26.8 см2
Максимальные нормальные напряжения в двутавре составляют
σmax = Mmax/Wx = 25400/184 = 138.04 МПа
Максимальные касательные напряжения в двутавре (на центральной оси) составляют
τmax = Qmax×Sx/b×Ix = 12700×91.38×10-6/0.0052×1840×10-8 = 12.129×106 Па = 12.129 МПа
Касательные напряжения на границе полки и стенки составляют
τmax = Qmax×Sx'/b×Ix = 12700×80.47×10-6/0.0052×1840×10-8 = 10.681×106 Па = 10.681 МПа,
где статический момент отсеченной полки составляет
Sx'=b×t×(h-t)/2=10×0.84×(20-0.84)/2=80.47 см3.
Эпюры нормальных и касательных напряжений для двутавра:

Подбираем круг.
Wmin=25400/160=159 см3
Момент сопротивления сплошного круглого сечения
W=π×d3 / 32
d3=32×W / π = 32×159 / π = 1620
Диаметр сечения будет таким d=11.7 см
Площадь сечения
A=π×d2/4=π×11.72/4=107.46 см2
Максимальные нормальные напряжения составляют
σmax = 32×Mmax/π×d3 = 32×25400/π×11.73 = 161.62 МПа
Максимальные касательные напряжения для круга составляют
τmax = 4Qmax/3A = 4×12700/3×107.46×100 = 1.576 МПа
Эпюры нормальных и касательных напряжений для круга:

Подбираем трубу с отношением диаметров α = d/D = 0.9
Wmin=25400 / 160=159 см3
Момент сопротивления трубчатого сечения
W=π×D3 ×(1-α4)/32
D3=32×W / π×(1-α4) = 32×159 / π×(1-0.94)=4712
Диаметр сечения будет таким D=16.8 см
Площадь сечения A=π×D2(1-α2)/4=π×16.82(1-0.92)/4=42.1 см2
Максимальные нормальные напряжения составляют
σmax = 32×Mmax/π×D3×(1-α4) = 32×25400/π×16.83×(1-0.94) = 158.74 МПа
Максимальные касательные напряжения для трубы определим по формуле Журавского
τmax = Qmax×Sx/b×Ix, где b=D-d
Статический момент полусечения
Sx=2R3/3-2r3/3=(D3-d3)/12=(16.83-(16.8×0.9)3)/12=107.08 см3
Момент инерции сечения
Ix=π×D4×(1-α4)/64=π×16.84×(1-0.94)/64=1344.06 см4
τmax = 12700×107.08×10-6/(16.8-0.9×16.8)×0.01×1344.06-8=0.06×106 Па = 0.06 МПа
Эпюры нормальных и касательных напряжений для трубы:

Подбираем квадрат.
Wmin=25400 / 160=159 см3
Момент сопротивления квадратного сечения
W=a3/6
Сторона квадрата будет такой a= 9.8 см
Площадь сечения A=a2=9.82=96.04 см2

Подбираем прямоугольное сечение с отношением сторон h / b=2
Wmin=25400 / 160 = 159 см3
Момент сопротивления прямоугольного сечения
W=b×h2 / 6 = b3 × 22 / 6 = b3×0.67
b3=159 / 0.67=237
Ширина сечения b=6.2 см, Высота сечения h=b×2=6.2×2=12.4 см
Площадь сечения A=b×h=6.2×12.4=76.88 см2
Максимальные нормальные напряжения составляют
σmax = 6×Mmax/b×h2 = 6×25400/6.2×12.42 = 159.86 МПа
Максимальные касательные напряжения для прямоугольника составляют
τmax = 3Qmax/2A = 3×12700/2×76.88×100 = 2.478 МПа
Эпюры нормальных и касательных напряжений для прямоугольного сечения:

Записываем уравнения углов поворота и прогибов по методу начальных параметров

На участке AB: (0 ≤ z1 ≤ 2 м )

EJ×φ(z) = EJ×φ0 + RA·z2/2

EJ×v(z) = EJ×v0 + EJ×φ0×z + RA·z3/6

На участке BC: (2 ≤ z2 ≤ 4 м )

EJ×φ(z) = EJ×φ0 + RA·z2/2 - P·(z - 2)2/2 - q1·(z - 2)3/6

EJ×v(z) = EJ×v0 + EJ×φ0×z + RA·z3/6 - P·(z - 2)3/6 - q1·(z - 2)4/24

На участке CD: (4 ≤ z3 ≤ 5 м )

EJ×φ(z) = EJ×φ0 + RA·z2/2 - P·(z - 2)2/2 - q1·(z - 2)3/6 + q1·(z - 4)3/6

EJ×v(z) = EJ×v0 + EJ×φ0×z + RA·z3/6 - P·(z - 2)3/6 - q1·(z - 2)4/24 + q1·(z - 4)4/24

На участке DE: (5 ≤ z4 ≤ 6 м )

EJ×φ(z) = EJ×φ0 + RA·z2/2 - P·(z - 2)2/2 + M· (z - 5) - q1·(z - 2)3/6 + q1·(z - 4)3/6

EJ×v(z) = EJ×v0 + EJ×φ0×z + RA·z3/6 - P·(z - 2)3/6 + M· (z - 5)2/2 - q1·(z - 2)4/24 + q1·(z - 4)4/24

Из условий закрепления по этим уравнениям вычислим начальные параметры:

- начальный угол поворота φ0 = -45.33 кНм2

- начальный прогиб балки v0 = 0 кНм3

Найдем углы поворота и прогибы сечений на каждом участке

На участке AB

EJ×φ(0) = -45.33 кНм2

EJ×v(0) = 0 кНм3

EJ×φ(0.5) = -43.75 кНм2

EJ×v(0.5) = -22.4 кНм3

EJ×φ(1) = -39 кНм2

EJ×v(1) = -43.22 кНм3

EJ×φ(1.5) = -31.08 кНм2

EJ×v(1.5) = -60.88 кНм3

EJ×φ(2) = -20 кНм2

EJ×v(2) = -73.78 кНм3

На участке BC

EJ×φ(2) = -20 кНм2

EJ×v(2) = -73.78 кНм3

EJ×φ(2.5) = -7.375 кНм2

EJ×v(2.5) = -80.61 кНм3

EJ×φ(3) = 4.667 кНм2

EJ×v(3) = -81.25 кНм3

EJ×φ(3.5) = 15.38 кНм2

EJ×v(3.5) = -76.17 кНм3

EJ×φ(4) = 24 кНм2

EJ×v(4) = -66.22 кНм3

На участке CD

EJ×φ(4) = 24 кНм2

EJ×v(4) = -66.22 кНм3

EJ×φ(4.25) = 27.31 кНм2

EJ×v(4.25) = -59.79 кНм3

EJ×φ(4.5) = 29.92 кНм2

EJ×v(4.5) = -52.63 кНм3

EJ×φ(4.75) = 31.81 кНм2

EJ×v(4.75) = -44.89 кНм3

EJ×φ(5) = 33 кНм2

EJ×v(5) = -36.78 кНм3

На участке DE

EJ×φ(5) = 33 кНм2

EJ×v(5) = -36.78 кНм3

EJ×φ(5.25) = 35.48 кНм2

EJ×v(5.25) = -28.2 кНм3

EJ×φ(5.5) = 37.25 кНм2

EJ×v(5.5) = -19.1 кНм3

EJ×φ(5.75) = 38.31 кНм2

EJ×v(5.75) = -9.637 кНм3

EJ×φ(6) = 38.67 кНм2

EJ×v(6) = 0 кНм3


Посмотреть примеры
Не получается решить задачу? Есть вопросы? Нужна помощь? Обратитесь к авторам сайта через ВКонтакте Telegram: sopromat_xyz WhatsApp: +380936422175