Расчет балки

Расчет статически неопределимой балки

Поскольку данная балка является статически неопределимой, для нее нельзя определить внутренние усилия и реакции опор только методами статики (с помощью уравнений равновесия).

Как правило, для таких случаев сначала следует раскрыть статическую неопределимость, используя один из методов:

• метод сил
• метод уравнения трех моментов
• метод интегрирования дифференциального уравнения изгиба

При раскрытии статической неопределимости определяются некоторые параметры (реакции опор либо опорные моменты), имея которые дальнейший расчет уже возможен с помощью уравнений равновесия.

Будем считать, что статическая неопределимость раскрыта и эпюры уже построены

Записываем уравнения поперечных сил и изгибающих моментов на участках балки , используя метод сечений

На участке AB: (0 ≤ z₁ ≤ 2 м )

Q(z₁) = + R_A = + 3.074 = 3.074 кН

M(z₁) = + R_A · z = + 3.074 · z

M(0) = 0 кНм

M(2) = 6.149 кНм

На участке BC: (2 ≤ z₂ ≤ 3 м )

Q(z₂) = + R_A - P - q₁·(z - 2) = + 3.074 - 12 - 5·(z - 2)

Q(2) = -8.926 кН

Q(3) = -13.926 кН

M(z₂) = + R_A · z - P·(z - 2) - q₁·(z - 2)²/2 = + 3.074 · z - 12·(z - 2) - 5·(z - 2)²/2

M(2) = 6.149 кНм

M(3) = -5.277 кНм

На участке CD: (3 ≤ z₃ ≤ 4 м )

Q(z₃) = + R_A + R_C - P - q₁·(z - 2) = + 3.074 + 19.5 - 12 - 5·(z - 2)

Q(3) = 5.57 кН

Q(4) = 0.57 кН

M(z₃) = + R_A · z + R_C · (z - 3) - P·(z - 2) - q₁·(z - 2)²/2 = + 3.074 · z + 19.5 · (z - 3) - 12·(z - 2) - 5·(z - 2)²/2

M(3) = -5.277 кНм

M(4) = -2.207 кНм

На участке DE: (4 ≤ z₄ ≤ 5 м )

Q(z₄) = + R_A + R_C - P - Q₁ = + 3.074 + 19.5 - 12 - 10 = 0.57 кН

M(z₄) = + R_A · z + R_C · (z - 3) - P·(z - 2) - Q₁·(z - 3) = + 3.074 · z + 19.5 · (z - 3) - 12·(z - 2) - 10·(z - 3)

M(4) = -2.207 кНм

M(5) = -1.637 кНм

На участке EF: (5 ≤ z₅ ≤ 6 м )

Q(z₅) = + R_A + R_C - R_E - P - Q₁ = + 3.074 + 19.5 - 6.933 - 12 - 10 = -6.363 кН

M(z₅) = + R_A · z + R_C · (z - 3) - R_E · (z - 5) - P·(z - 2) + M - Q₁·(z - 3) = + 3.074 · z + 19.5 · (z - 3) - 6.933 · (z - 5) - 12·(z - 2) + 8 - 10·(z - 3)

M(5) = 6.363 кНм

M(6) = -0 кНм

Максимальный момент в балке составляет M_max = 6.36 кНм. По этому значению подбираем сечение балки.

Условие прочности при изгибе σ = M_max / W ≤ [σ]

Отсюда, минимально необходимый момент сопротивления вычисляем по формуле W_min=M_max / [σ]

Подбираем двутавровое сечение при допускаемом напряжении [σ] = 160 МПа
W_min=6360 / 160 = 39.75 см³
Из сортамента выбираем двутавр №12 с моментом сопротивления W = 58.33 см³ и площадью A = 14.7 см²
Максимальные нормальные напряжения в двутавре составляют
σ_max = M_max/Wx = 6360/58.33 = 109.03 МПа
Максимальные касательные напряжения в двутавре (на центральной оси) составляют
τ_max = Q_max×Sx/b×Ix = 13900×29.66×10^-6/0.0048×350×10^-8 = 24.54×10⁶ Па = 24.54 МПа
Касательные напряжения на границе полки и стенки составляют
τ_max = Q_max×Sx'/b×Ix = 13900×26.33×10^-6/0.0048×350×10^-8 = 21.785×10⁶ Па = 21.785 МПа,
где статический момент отсеченной полки составляет
Sx'=b×t×(h-t)/2=6.4×0.73×(12-0.73)/2=26.33 см³.
Эпюры нормальных и касательных напряжений для двутавра:

Подбираем прямоугольное сечение с отношением сторон h / b=2
W_min=6360 / 160 = 40 см³
Момент сопротивления прямоугольного сечения
W=b×h² / 6 = b³ × 2² / 6 = b³×0.67
b³=40 / 0.67=60
Ширина сечения b=3.9 см, Высота сечения h=b×2=3.9×2=7.8 см
Площадь сечения A=b×h=3.9×7.8=30.42 см²
Максимальные нормальные напряжения составляют
σ_max = 6×M_max/b×h² = 6×6360/3.9×7.8² = 160.83 МПа
Максимальные касательные напряжения для прямоугольника составляют
τ_max = 3Q_max/2A = 3×13900/2×30.42×100 = 6.854 МПа
Эпюры нормальных и касательных напряжений для прямоугольного сечения: