Расчет балки

Подробный ход решения - расчет балки, построение эпюр

Заменим распределенную нагрузку равнодействующей

Q₁ = 6·2 = 12кН

Составим уравнения равновесия для определения реакций опор

Σ M_A = + P · 2 + M + Q1 · 3 - R_E · 6= + 12 · 2 + 8 + 12 · 3 - R_E · 6=0

Σ M_E = - P · 4 + M - Q1 · 3 + R_A · 6= - 12 · 4 + 8 - 12 · 3 + R_A · 6=0

Из этих уравнений находим реакции опор

R_A = 12.67кН.

R_E = 11.33кН.

Записываем уравнения поперечных сил и изгибающих моментов на участках балки , используя метод сечений

На участке AB: (0 ≤ z₁ ≤ 2 м )

Q(z₁) = + R_A = + 12.67 = 12.667 кН

M(z₁) = + R_A · z = + 12.67 · z

M(0) = 0 кНм

M(2) = 25.333 кНм

На участке BC: (2 ≤ z₂ ≤ 4 м )

Q(z₂) = + R_A - P - q₁·(z - 2) = + 12.67 - 12 - 6·(z - 2)

Q(2) = 0.667 кН

Q(4) = -11.333 кН

M(z₂) = + R_A · z - P·(z - 2) - q₁·(z - 2)²/2 = + 12.67 · z - 12·(z - 2) - 6·(z - 2)²/2

M(2) = 25.333 кНм

M(4) = 14.667 кНм

Поскольку поперечная сила на участке пересекает ноль при z = 2.11 м, в этой точке будет экстремум на эпюре M

M(2.11) = 25.4 кНм

На участке CD: (4 ≤ z₃ ≤ 5 м )

Q(z₃) = + R_A - P - Q₁ = + 12.67 - 12 - 12 = -11.333 кН

M(z₃) = + R_A · z - P·(z - 2) - Q₁·(z - 3) = + 12.67 · z - 12·(z - 2) - 12·(z - 3)

M(4) = 14.667 кНм

M(5) = 3.333 кНм

На участке DE: (5 ≤ z₄ ≤ 6 м )

Q(z₄) = + R_A - P - Q₁ = + 12.67 - 12 - 12 = -11.333 кН

M(z₄) = + R_A · z - P·(z - 2) + M - Q₁·(z - 3) = + 12.67 · z - 12·(z - 2) + 8 - 12·(z - 3)

M(5) = 11.333 кНм

M(6) = -0 кНм

Максимальный момент в балке составляет M_max = 25.4 кНм. По этому значению подбираем сечение балки.

Условие прочности при изгибе σ = M_max / W ≤ [σ]

Отсюда, минимально необходимый момент сопротивления вычисляем по формуле W_min=M_max / [σ]

Подбираем двутавровое сечение при допускаемом напряжении [σ] = 160 МПа
W_min=25400 / 160 = 158.75 см³
Из сортамента выбираем двутавр №20 с моментом сопротивления W = 184 см³ и площадью A = 26.8 см²
Максимальные нормальные напряжения в двутавре составляют
σ_max = M_max/Wx = 25400/184 = 138.04 МПа
Максимальные касательные напряжения в двутавре (на центральной оси) составляют
τ_max = Q_max×Sx/b×Ix = 12700×91.38×10^-6/0.0052×1840×10^-8 = 12.129×10⁶ Па = 12.129 МПа
Касательные напряжения на границе полки и стенки составляют
τ_max = Q_max×Sx'/b×Ix = 12700×80.47×10^-6/0.0052×1840×10^-8 = 10.681×10⁶ Па = 10.681 МПа,
где статический момент отсеченной полки составляет
Sx'=b×t×(h-t)/2=10×0.84×(20-0.84)/2=80.47 см³.
Эпюры нормальных и касательных напряжений для двутавра:

Подбираем круг.
W_min=25400/160=159 см³
Момент сопротивления сплошного круглого сечения
W=π×d³ / 32
d³=32×W / π = 32×159 / π = 1620
Диаметр сечения будет таким d=11.7 см
Площадь сечения
A=π×d²/4=π×11.7²/4=107.46 см²
Максимальные нормальные напряжения составляют
σ_max = 32×M_max/π×d³ = 32×25400/π×11.7³ = 161.62 МПа
Максимальные касательные напряжения для круга составляют
τ_max = 4Q_max/3A = 4×12700/3×107.46×100 = 1.576 МПа
Эпюры нормальных и касательных напряжений для круга:

Подбираем трубу с отношением диаметров α = d/D = 0.9
W_min=25400 / 160=159 см³
Момент сопротивления трубчатого сечения
W=π×D³ ×(1-α⁴)/32
D³=32×W / π×(1-α⁴) = 32×159 / π×(1-0.9⁴)=4712
Диаметр сечения будет таким D=16.8 см
Площадь сечения A=π×D²(1-α²)/4=π×16.8²(1-0.9²)/4=42.1 см²
Максимальные нормальные напряжения составляют
σ_max = 32×M_max/π×D³×(1-α⁴) = 32×25400/π×16.8³×(1-0.9⁴) = 158.74 МПа
Максимальные касательные напряжения для трубы определим по формуле Журавского
τ_max = Q_max×Sx/b×Ix, где b=D-d
Статический момент полусечения
Sx=2R³/3-2r³/3=(D³-d³)/12=(16.8³-(16.8×0.9)³)/12=107.08 см³
Момент инерции сечения
Ix=π×D⁴×(1-α⁴)/64=π×16.8⁴×(1-0.9⁴)/64=1344.06 см⁴
τ_max = 12700×107.08×10^-6/(16.8-0.9×16.8)×0.01×1344.06^-8=0.06×10⁶ Па = 0.06 МПа
Эпюры нормальных и касательных напряжений для трубы:

Подбираем квадрат.
W_min=25400 / 160=159 см³
Момент сопротивления квадратного сечения
W=a³/6
Сторона квадрата будет такой a= 9.8 см
Площадь сечения A=a²=9.8²=96.04 см²

Подбираем прямоугольное сечение с отношением сторон h / b=2
W_min=25400 / 160 = 159 см³
Момент сопротивления прямоугольного сечения
W=b×h² / 6 = b³ × 2² / 6 = b³×0.67
b³=159 / 0.67=237
Ширина сечения b=6.2 см, Высота сечения h=b×2=6.2×2=12.4 см
Площадь сечения A=b×h=6.2×12.4=76.88 см²
Максимальные нормальные напряжения составляют
σ_max = 6×M_max/b×h² = 6×25400/6.2×12.4² = 159.86 МПа
Максимальные касательные напряжения для прямоугольника составляют
τ_max = 3Q_max/2A = 3×12700/2×76.88×100 = 2.478 МПа
Эпюры нормальных и касательных напряжений для прямоугольного сечения:

Записываем уравнения углов поворота и прогибов по методу начальных параметров

На участке AB: (0 ≤ z₁ ≤ 2 м )

EJ×φ(z) = EJ×φ₀ + R_A·z²/2

EJ×v(z) = EJ×v₀ + EJ×φ₀×z + R_A·z³/6

На участке BC: (2 ≤ z₂ ≤ 4 м )

EJ×φ(z) = EJ×φ₀ + R_A·z²/2 - P·(z - 2)²/2 - q₁·(z - 2)³/6

EJ×v(z) = EJ×v₀ + EJ×φ₀×z + R_A·z³/6 - P·(z - 2)³/6 - q₁·(z - 2)⁴/24

На участке CD: (4 ≤ z₃ ≤ 5 м )

EJ×φ(z) = EJ×φ₀ + R_A·z²/2 - P·(z - 2)²/2 - q₁·(z - 2)³/6 + q₁·(z - 4)³/6

EJ×v(z) = EJ×v₀ + EJ×φ₀×z + R_A·z³/6 - P·(z - 2)³/6 - q₁·(z - 2)⁴/24 + q₁·(z - 4)⁴/24

На участке DE: (5 ≤ z₄ ≤ 6 м )

EJ×φ(z) = EJ×φ₀ + R_A·z²/2 - P·(z - 2)²/2 + M· (z - 5) - q₁·(z - 2)³/6 + q₁·(z - 4)³/6

EJ×v(z) = EJ×v₀ + EJ×φ₀×z + R_A·z³/6 - P·(z - 2)³/6 + M· (z - 5)²/2 - q₁·(z - 2)⁴/24 + q₁·(z - 4)⁴/24

Из условий закрепления по этим уравнениям вычислим начальные параметры:

- начальный угол поворота φ₀ = -45.33 кНм²

- начальный прогиб балки v₀ = 0 кНм³

Найдем углы поворота и прогибы сечений на каждом участке

На участке AB

EJ×φ(0) = -45.33 кНм²

EJ×v(0) = 0 кНм³

EJ×φ(0.5) = -43.75 кНм²

EJ×v(0.5) = -22.4 кНм³

EJ×φ(1) = -39 кНм²

EJ×v(1) = -43.22 кНм³

EJ×φ(1.5) = -31.08 кНм²

EJ×v(1.5) = -60.88 кНм³

EJ×φ(2) = -20 кНм²

EJ×v(2) = -73.78 кНм³

На участке BC

EJ×φ(2) = -20 кНм²

EJ×v(2) = -73.78 кНм³

EJ×φ(2.5) = -7.375 кНм²

EJ×v(2.5) = -80.61 кНм³

EJ×φ(3) = 4.667 кНм²

EJ×v(3) = -81.25 кНм³

EJ×φ(3.5) = 15.38 кНм²

EJ×v(3.5) = -76.17 кНм³

EJ×φ(4) = 24 кНм²

EJ×v(4) = -66.22 кНм³

На участке CD

EJ×φ(4) = 24 кНм²

EJ×v(4) = -66.22 кНм³

EJ×φ(4.25) = 27.31 кНм²

EJ×v(4.25) = -59.79 кНм³

EJ×φ(4.5) = 29.92 кНм²

EJ×v(4.5) = -52.63 кНм³

EJ×φ(4.75) = 31.81 кНм²

EJ×v(4.75) = -44.89 кНм³

EJ×φ(5) = 33 кНм²

EJ×v(5) = -36.78 кНм³

На участке DE

EJ×φ(5) = 33 кНм²

EJ×v(5) = -36.78 кНм³

EJ×φ(5.25) = 35.48 кНм²

EJ×v(5.25) = -28.2 кНм³

EJ×φ(5.5) = 37.25 кНм²

EJ×v(5.5) = -19.1 кНм³

EJ×φ(5.75) = 38.31 кНм²

EJ×v(5.75) = -9.637 кНм³

EJ×φ(6) = 38.67 кНм²

EJ×v(6) = 0 кНм³