Упруго-пластический изгиб балок

В поперечных сечениях балки при изгибе нормальные напряжения в упругом состоянии материала распределяются неравномерно, линейно изменяясь по высоте балки (рис. а).

Расчеты при сгибании

Наибольшие нормальные напряжения в наиболее удаленных от нейтральной линии точках поперечного сечения определяются по формуле

.

При расчете на прочность по допустимым напряжениям, запас прочности определяется как отношение предела текучести материала до наибольшего напряжения. Именно за этим опасный принимается состояние балки, что соответствует достижению наибольшими нормальными напряжениями в опасных сечениях предела текучести. Такое состояние лишь условно можно считать опасным. Балка еще сохраняет способность воспринимать изгибающий момент, увеличивается.

Определим величину предельного изгибающего момента в случае чистого изгибания. Рассмотрим сначала балку, поперечные сечения которой имеют две оси симметрии. Предела текучести при растяжении и сжатии будем считать одинаковыми.

После появления текучести в наиболее удаленных от нейтральной оси точках сечения при дальнейшем увеличении изгибающего момента пластическое состояние материала распространяется в направлении к нейтральной оси. До полного исчерпания несущей способности балки в ее поперечных сечениях будут две зоны — пластическая и упругая (рис. б). Предельное состояние наступит, когда текучесть распространится по всему поперечному сечению, так как после этого дальнейшая деформация балки происходит без увеличения изгибающего момента. Эпюра нормальных напряжений в поперечном сечении для предельного состояния изображена на рис. в. В рассматриваемом поперечном сечении образуется так называемый пластический шарнир, что передает постоянный момент, равный предельному гибочном момента.

 

Предельный момент можно вычислить как сумму моментов относительно нейтральной оси сил  в поперечном сечении (рис. в):

где  — статический  момент  площади  половины  поперечного сечения относительно нейтральной оси.

Величину  принято называть пластическим моментом сопротивления и обозначают . Тогда

Для прямоугольного поперечного сечения, имеющий ширину  и высоту

Опасная величина изгибающего момента при расчете по допустимым напряжением

Отношения

характеризует степень увеличения запаса прочности балки при переходе к расчету по предельному состоянию. В случае балки прямоугольного сечения

Для двутавровых прокатных балок в среднем . Если сечение балки имеет только одну ось симметрии в плоскости нагрузки (рис. 13.12), то в предельном состоянии нейтральная ось пройдет через центр тяжести поперечного сечения.

Сечение с одной осью симметрии

Положение нейтральной оси определяется из равенства нулю суммы проекций на ось балки всех сил , распределенных по ее сечению:

где      — площадь растянутой зоны сечения;

 — площадь сжатой зоны.

Отсюда получаем     , то есть в предельном состоянии нейтральная ось сечения должна делить его площадь пополам.

Предельный изгибающий момент

где — статический момент растянутой зоны сечения относительно нейтральной оси;

 — абсолютная величина статического момента сжатой зоны сечения относительно той же оси.

В этом случае пластический момент сопротивления

Приведенные рассуждения относительно определения предельного состояния, эквивалентного образованию пластического шарнира в поперечном сечении балки, строго говоря, справедливы только для чистого изгибания, когда нет касательных напряжений. Определение предельного состояния с учетом поперечной силы более сложно. Этот вопрос здесь не выясняется.

Рассмотрим пример расчета балки на изгиб допускаются по накалу, и по предельном состоянии без учета влияния поперечной силы.

Балка прямоугольного поперечного сечения, зажата по концам, несет равномерно распределенный по длине нагрузки интенсивности  (рис. 16.3, а). Определить наибольшую интенсивность этой нагрузки, допустимую согласно расчета по допустимому напряжению, и по предельному состоянию при том же запасе прочности .

Расчет без учета влияния поперечной силы

Расчет по допустимым напряжениям. Балка статически неопределенная. Ее расчет существенно упрощается благодаря симметрии. Находим лишние неизвестные и строим эпюру изгибающих моментов (рис. 16.3, а). Наибольшее значение изгибающего момента имеет в защемленных опорных сечениях:

При увеличении нагрузки  максимальные напряжения в этих же сечениях в первую очередь достигнут предела текучести. Принимая запас прочности по пределу текучести равным , найдем наибольшую допустимую интенсивность нагрузки из условия прочности:

Учитывая, что , a   получаем

 

Расчет по предельному состоянию. После появления пластических деформаций в наиболее удаленных от нейтральной оси точках опорных сечений дальнейший рост нагрузки приведет к образованию в этих сечениях пластических шарниров, а изгибающий момент при этом достигнет предельного значения . Теперь уже балка работает как шарнирно обперта, к которой на опорах приложены постоянные моменты (рис. 16.3, б)

При дальнейшем росте нагрузки эти моменты сохраняют свое значение, и задача становится статически определенной. В пролетных сечениях величины изгибающих моментов будут расти, пока посередине пролета момент не станет равным той же величине , то есть пока не образуется пластический шарнир. При этом три пластические шарниры расположатся на одной прямой, поэтому дальнейший рост нагрузки невозможен. Несущая способность балки иссякнет.

Условие равенства изгибающих моментов в опорных сечениях и посередине пролета имеет вид

откуда находим, что

Составляя правые части формул (19.51)  и  (19.53), найдем:

Принимая запас прочности равным  получим наибольшую допустимую интенсивность нагрузки:

Отношение наибольших допустимых нагрузок при расчетах по предельному состоянию и по допускаючому напряжению

.

Расчет по предельному состоянию часто позволяет вскрыть дополнительные резервы прочности. Как указывалось выше, он получил широкое распространение при расчете строительных конструкций

Расчет по предельному состоянию с определенным запасом прочности не гарантирует от появления местных пластических деформаций. Последнее еще допустим при постоянных нагрузках, которые имеют место преимущественно в строительных конструкциях. При переменных нагрузках, на которых чаще всего приходится рассчитывать машиностроительные конструкции, появление пластических деформаций во многих случаях недопустимо. Поэтому в таких случаях стоит вести расчет по допустимым напряжениям.