Пример расчета центра тяжести и моментов инерции

Обратите внимание, на этом сайте есть онлайн-сервис для вычисления центра тяжести и моментов инерции составных сечений, которые состоят из прокатных профилей (двутавр, уголок и т.д.) и из простых фигур.

Часто при расчете элементов строительных конструкций приходится определять геометрические характеристики профилей, составленных из элементарных геометрических фигур (прямоугольник, круг и т.п.) и прокатных профилей. Рассмотрим подробно пример расчета.

Необходимо определить геометрические характеристики составного сечения (рис.), который состоит из уголка 20/12,5/1,2, уголка 14/1 и прямоугольника 20х2см.

Определение собственных характеристик отдельных профилей – составляющих сечения

Собственные характеристики прокатных профилей определяются из сортамента.

Для неравнополочного уголка 20/12,5/1,2:

– высота и ширина уголка h = 20 см, b = 12,5 см;

– площадь $A$= 37,9 см2;

– собственные осевые моменты инерции ${I_x}$=1570 см4, ${I_y}$= 482 см4;

– собственный центробежный момент инерции ${I_{xy}}$=505 см4;

– координаты центра тяжести ${x_c}$= 2,83 см, ${y_c}$= 6,51 см.

Для равнополочного уголка 14/1:

– высота и ширина уголка h = b = 14 см;

– площадь $A$= 27,3 см2;

– собственные осевые моменты инерции ${I_x}$= ${I_y}$= 512 см4;

– собственный центробежный момент инерции ${I_{xy}}$=301 см4;

– координаты центра тяжести ${x_c}$= ${y_c}$= 3,82 см.

Для прямоугольника 20х2см:

– высота и ширина прямоугольника h = 20 см, b = 2 см;

– площадь $A$= 20∙2 = 40 см²;

– собственные осевые моменты инерции ${I_x} = \frac{{2 \cdot {{20}^3}}}{{12}} = 1330$ см⁴, ${I_y} = \frac{{20 \cdot {2^3}}}{{12}} = 13,3$см⁴;

– собственный центробежный момент инерции ${I_{xy}}$= 0, так как профиль имеет ось симметрии.

Определение центра тяжести сечения

Общая площадь всего сечения    A = 37,9+27,3+40 = 105см2.

Проводим вспомогательные оси $X$ и $Y$ и определяем относительно них центр тяжести сечения:

${X_c} = \frac{{\sum {{X_i} \cdot {A_i}} }}{A} = \frac{{{\text{37}}{\text{,9}} \cdot {\text{( - 13}}{\text{,5) + 27}}{\text{,3}} \cdot {\text{( - 3}}{\text{,82) + 40}} \cdot {\text{1}}}}{{{\text{105}}}}{\text{ =  - 5}}{\text{,49}}$см;

${Y_c} = \frac{{\sum {{Y_i} \cdot {A_i}} }}{A} = \frac{{{\text{37}}{\text{,9}} \cdot {\text{( - 2}}{\text{,83) + 27}}{\text{,3}} \cdot {\text{10}}{\text{,2 + 40}} \cdot {\text{10}}}}{{105}} = 5,44$.

При этом в координатах центров тяжести составных обязанности’обязательно учитываем знак. Откладываем оси, которые проходят через центр тяжести –центральные оси $Xc$ и ${Y_c}$.

Определение центральных моментов инерции

Осевые и центробежный моменты инерции сечения определяем по формулам перехода между параллельными осями. Для этого находим и показываем на чертеже расстояния между центральными осями всего сечения и собственными осями каждой из фигур.

$Ix = \sum {\left( {I{x_i} + A \cdot {b^2}} \right) = {\text{482 + 8}}{\text{,2}}{{\text{7}}^{\text{2}}} \cdot {\text{37}}{\text{,9 + 512 + 4}}{\text{,7}}{{\text{6}}^{\text{2}}} \cdot {\text{27}}{\text{,3 + 1330 + 4}}{\text{,5}}{{\text{6}}^{\text{2}}} \cdot {\text{40  =  6360}}} $см4;

$Iy = \sum {\left( {I{y_i} + A \cdot {a^2}} \right)}  = {\text{1570 + 8}}{\text{,0}}{{\text{1}}^{\text{2}}} \cdot {\text{37}}{\text{,9 + 512 + 1}}{\text{,6}}{{\text{7}}^{\text{2}}} \cdot {\text{27}}{\text{,3 + 13}}{\text{,3 + 6}}{\text{,4}}{{\text{9}}^{\text{2}}} \cdot {\text{40  =  6280}}$см4;

${I_{xy}} = \sum {\left( {{I_{xy}}_i + A \cdot a \cdot b} \right)}  = $

$ = 505 + ( - 8,01) \cdot ( - 8,27) \cdot 37,9 - 301 + 1,67 \cdot 4,76 \cdot 27,3 + 0 + 6,49 \cdot 4,56 \cdot 40 = 4120$см4.

При этом обязанности’обязательно учитываем размещения фигур относительно рассматриваемых осей. Так, при определении момента инерции ${I_x}$ в формулу подставляем собственный момент инерции неравнополочного уголка относительно оси, которая параллельна оси ${X_c}$, в сортаменте это ось $Y$, и наоборот.

Определение положения главных осей и главных моментов инерции

Угол поворота главных осей относительно осей, для которых известны моменты инерции, определяется по формуле

\[tg\,2\alpha  = \frac{{2 \cdot {I_{xy}}}}{{{I_y} - {I_x}}} = \frac{{2 \cdot 4120}}{{6280 - 6360}} =  - 97\]                  $\alpha  = \frac{{arctg( - 97)}}{2} =  - 44,7^\circ $.

Если $\alpha  > 0$, главные оси откладываются против часовой стрелки, и наоборот.

Главные моменты инерции определяются так

${I_{x0}} = {I_x} \cdot {\cos ^2}\alpha  + {I_y} \cdot {\sin ^2}\alpha  - {I_{xy}} \cdot \sin 2\alpha  = $

$ = 6360 \cdot {\cos ^2}( - 44,7^\circ ) + 6280 \cdot {\sin ^2}( - 44,7^\circ ) - 4120 \cdot \sin ( - 2 \cdot 44,7^\circ ) = 10430$см4.

${I_{y0}} = {I_y} \cdot {\cos ^2}\alpha  + {I_x} \cdot {\sin ^2}\alpha  + {I_{xy}} \cdot \sin 2\alpha  = $

$ = 6280 \cdot {\cos ^2}( - 44,7^\circ ) + 6360 \cdot {\sin ^2}( - 44,7^\circ ) + 4120 \cdot \sin ( - 2 \cdot 44,7^\circ ) = 2210$см4.

Центробежный момент инерции относительно главных осей равен нулю.

Радиусы инерции. Моменты сопротивления

Радиусы инерции сечения

${i_x} = \sqrt[{}]{{\frac{{{I_x}}}{A}}} = \sqrt[{}]{{\frac{{10430}}{{105}}}} = 9,96$см,                 ${i_y} = \sqrt[{}]{{\frac{{{I_y}}}{A}}} = \sqrt[{}]{{\frac{{2210}}{{105}}}} = 4,58$см.

Моменты сопротивления сечения определяем относительно центральных осей. Для этого необходимо определить расстояния ${x_{\max }}$ и ${y_{\max }}$ до максимально удаленных точек от главных осей. Сначала необходимо по чертежам определить, какие точки являются наиболее удаленными. В нашем случае это точки $A$ и $B$ (рис.). Искомые расстояния можно определить, имея координаты этих точек в центральных (не возвращенных осям).

${x_{\max }} = {x_A} \cdot \cos \left( \alpha  \right) + {y_A} \cdot \sin \left( \alpha  \right)$

${y_{\max }} = {y_B} \cdot \cos \left( \alpha  \right) - {x_B} \cdot \sin \left( \alpha  \right)$

XА= –8,53см       YA=8,57см

XB= –14,5см      YB= –18см

xmax = –12,1см   ymax = –23см

Моменты сопротивления

${W_x} = \frac{{{I_x}}}{{{y_{\max }}}} = \frac{{10430}}{{23}} = 454$см3;                ${W_y} = \frac{{{I_y}}}{{{x_{\max }}}} = \frac{{2210}}{{12.1}} = 183$см3.