Пример расчета балок по нормальным и касательным напряжениям
Для начала перед построением эпюр внутренних сил определим реакции опор.
$\Sigma {M_A} = - M + q \cdot 5.6 \cdot 2.8 + F \cdot 3.8 - {R_B} \cdot 4.4 = 0$
${R_B} = \frac{{ - M + q \cdot 5.6 \cdot 2.8 + F \cdot 3.8}}{{4.4}} = \frac{{ - 120 + 50 \cdot 5.6 \cdot 2.8 + 300 \cdot 3.8}}{{4.4}} = 410$кН.
$\Sigma {M_B} = - M - q \cdot 5.6 \cdot 1.6 - F \cdot 0.6 + {R_A} \cdot 4.4 = 0$
${R_B} = \frac{{M + q \cdot 5.6 \cdot 1.6 + F \cdot 0.6}}{{4.4}} = \frac{{120 + 50 \cdot 5.6 \cdot 1.6 + 300 \cdot 0.6}}{{4.4}} = 170$кН.
Записываем уравнения внутренних сил и находим их значения.
– участок 1 ($0 \leqslant z \leqslant 0.8$м)
$Q\left( z \right) = 0$
$M\left( z \right) = - M = - 120$кНм.
– участок 2 ($0.8 \leqslant z \leqslant 4.6$м)
$Q\left( z \right) = {R_A} - q \cdot \left( {z - 0.8} \right)$
$Q\left( {0.8} \right) = 170$кН, $Q\left( {4.6} \right) = 170 - 50 \cdot \left( {4.6 - 0.8} \right) = - 20$кН.
Находим координату точки, в которой $Q = 0$.
$Q\left( {{z_0}} \right) = 170 - 50 \cdot \left( {{z_0} - 0.8} \right) = 0$ ${z_0} = \frac{{170}}{{50}} + 0.8 = 4.2$м.
$M\left( z \right) = - M + {R_A} \cdot \left( {z - 0.8} \right) - q \cdot \frac{{{{\left( {z - 0.8} \right)}^2}}}{2}$
$M\left( {0.8} \right) = - 120$кНм, $M\left( {4.6} \right) = - 120 + 170 \cdot \left( {4.6 - 0.8} \right) - 50 \cdot \frac{{{{\left( {4.6 - 0.8} \right)}^2}}}{2} = 165$кНм.
Экстремальное значение изгибающего момента
$M\left( {{z_0}} \right) = M\left( {4.2} \right) = - 120 + 170 \cdot \left( {4.2 - 0.8} \right) - 50 \cdot \frac{{{{\left( {4.2 - 0.8} \right)}^2}}}{2} = 169$кНм.
– участок 3 ($0 \leqslant z \leqslant 1.2$г) – рассматриваем правую отсеченную часть.
$Q\left( z \right) = q \cdot z$ $Q\left( 0 \right) = 0$ $Q\left( {1.2} \right) = 50 \cdot 1.2 = 60$кН.
$M\left( z \right) = - q\frac{{{z^2}}}{2}$ $M\left( 0 \right) = 0$ $M\left( {1.2} \right) = - 50 \cdot \frac{{{{1.2}^2}}}{2} = - 36$кНм.
– участок 4 ($1.2 \leqslant z \leqslant 1.8$г) – рассматриваем правую отсеченную часть.
$Q\left( z \right) = q \cdot z - {R_B}$
$Q\left( {1.2} \right) = 50 \cdot 1.2 - 410 = - 350$кН. $Q\left( {1.8} \right) = 50 \cdot 1.8 - 410 = - 320$кН.
$M\left( z \right) = - q\frac{{{z^2}}}{2} + {R_B} \cdot \left( {z - 1.2} \right)$
$M\left( {1.2} \right) = - 50 \cdot \frac{{{{1.2}^2}}}{2} + 0 = - 36$кНм. $M\left( {1.8} \right) = - 50 \cdot \frac{{{{1.8}^2}}}{2} + 410 \cdot \left( {1.8 - 1.2} \right) = 165$кНм.
По вычисленным точкам строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Максимальные (по модулю) значение поперечной силы и изгибающего момента в балке указывают на положение опасных сечений. Так, опасным сечением с касательными напряжениями является сечение с максимальным значением поперечной силы $Q = 350$кН слева от опоры В. Опасным сечением за нормальными напряжениями является сечение с максимальным значением изгибающего момента $M = 169$кНм– в пролете в месте экстремума.
Также опасным может оказаться сечение с одновременно высокими значениями поперечной силы и изгибающего момента (сечение справа от силы F).
Как показывает практика, в балках, как правило, нормальные напряжения на порядок больше, чем касательные. Поэтому подбор поперечного сечения проводится, используя условие прочности по нормальным напряжениями
$\sigma = \frac{{{M_{\max }}}}{W} \leqslant [\sigma ]$,
откуда минимальный момент сопротивления сечения определяется как
${W_{\min }} = \frac{{{M_{\max }}}}{{[\sigma ]}} = \frac{{169000}}{{160}} = 1056$см3.
За сортаментом подбираем двутавр №45 с такими характеристиками:
- момент сопротивления W=1231см3;
- статический момент половины сечения Sx=708см3;
- момент инерции Ix=27700см4.
Напряжение для выбранного сечения можно построить, используя формулу Нав’– для нормальных напряжений и формулу Журавского – для касательных.
$\sigma = \frac{{{M_x}}}{{{I_x}}} \cdot y$ – нормальные напряжения;
$\tau = \frac{{Q \cdot S_x^ * }}{{b \cdot {I_x}}}$ – касательные напряжения.
Построенные по этим формулам эпюры показаны на рисунке.
Эпюры в сечении, опасном с нормальными напряжениями
Эпюры в сечении, опасном с касательными напряжениями
Эпюры в сечении, опасном с главными напряжениями
В двутавровому сечению главные напряжения проверяются в точке перехода от полки к стенке, где они могут превысить допустимые
${\sigma _{\max }} = {\left( {\frac{\sigma }{2}} \right)^2} + \sqrt [{}]{{{{\left( {\frac{\sigma }{2}} \right)}^2} + {\tau ^2}}} = {\left( {\frac{{125,5}}{2}} \right)^2} + \sqrt [{}]{{{{\left( {\frac{{125,5}}{2}} \right)}^2} + {{63,5}^2}}} = 152$МПа,
что меньше допустимых напряжений.
В случае преувеличения главными напряжениями допустимых, необходимо проверить следующий по сортаменту сечение.