Нормальные напряжения. Формула Навье

При изгибе происходит искривление оси балки. При этом часть сечения подвергается деформациям растяжения, другая часть –деформациям сжатия. Между этими частями находится нейтральный слой, продольные деформации в котором равны нулю. Таким образом, при изгибе нейтральный слой не изменяет своей длины.

Принимаем гипотезы:

– гипотеза плоских сечений;

– продольные волокна не давят друг на друга;

– напряжения и деформации распределяются равномерно по ширине сечения.

Абсолютное удлинение слоя, который находится на расстоянии $y$ от нейтрального слоя

$\Delta dx = \left( {\rho + y} \right) \cdot d\varphi - \rho \cdot d\varphi = y \cdot d\varphi $.

Относительное удлинение точек на расстоянии $y$ от нейтрального слоя

$\varepsilon \left( y \right) = \frac{{\Delta dx}}{{dx}} = \frac{{y \cdot d\varphi }}{{\rho \cdot d\varphi }} = \frac{y}{\rho }$.

$\varepsilon \left( y \right) = \frac{y}{\rho }$ – закон Гука при изгибе.

Нормальные напряжения

$\sigma = E\varepsilon = E\frac{y}{\rho }$.

Таким образом, продольные напряжения и деформации точек балки при изгибе прямо пропорциональны их расстоянию от нейтрального слоя.

При этом неизвестным остается положение нейтрального слоя. Для его определения воспользуемся тем фактом, что при изгибе в сечении не возникает продольной силы ($N = 0$).

$N = \int\limits_A^{} \sigma \,dA = \int\limits_A^{} {E\frac{y}{\rho }} \,dA = \frac{E}{\rho }\int\limits_A^{} y \,dA = \frac{E}{\rho } \cdot {S_z} = 0$,

где ${S_z}$ – статический момент площади сечения относительно оси $z$.

Как следствие, ${S_z} = 0$, то есть ось $z$ должно быть центральной, то есть нейтральный слой проходит через центральные оси сечений.

Запишем выражение изгибающего момента ${M_z}$ в сечении в зависимости от напряжений $\sigma $. На элементарной площадке $dA$ возникает усилие $dF = \sigma dA$. Момент от этого усилия относительно оси $z$ (оси изгиба)

$dM = dF \cdot y$.

Интегрируем по площади сечения

${M_z} = \int\limits_A {dM} = \int\limits_A {\sigma \cdot ydA} = \int\limits_A {\frac{E}{\rho }y \cdot ydA} = \frac{E}{\rho }\int\limits_A {{y^2}dA} = \frac{E}{\rho }{I_z}$,

где ${I_z} = \int\limits_A {{y^2}dA} $ – момент инерции сечения относительно оси изгиба.

$$\frac{1}{\rho } = \frac{M_z}{E\,{I_z}}$$,

где $\frac{1}{\rho }$ – кривизна балки;

$E\,{I_z}$ – жесткость сечения при изгибе.

Нормальные напряжения

$\sigma = \frac{1}{\rho } \cdot E \cdot y = \frac{{{M_z}}}{{E\,{I_z}}} \cdot E \cdot y = \frac{{{M_z}}}{{{I_z}}}y$.

Таким образом, нормальные напряжения при изгибе определяются как

$$\sigma = \frac{{{M_z}}}{{{I_z}}}y$$ – формула Навье

Максимальные нормальные напряжения в сечении будут возникать в наиболее удаленных от оси изгиба точках сечения.

$${\sigma _{\max }} = \frac{{{M_z}}}{{{I_z}}} \cdot {y_{_{\max }}} = \frac{{{M_z}}}{{{W_z}}}$$,

где ${W_z} = \frac{{{I_z}}}{{{y_{\max }}}}$ – момент сопротивления сечения относительно оси изгиба.