Пример расчета плоского напряженного состояния

Стальной кубик $E = 2 \cdot {10^5}$ МПа, $\nu  = 0,3$ находится в условиях плоского напряженного состояния. ${\sigma_x} = 90$ МПа, ${\sigma_y} = 20 $ МПа, $\tau  = 90$ МПа. Действительные направления напряжений показаны на рис.

Определить:

  1. Положение главных площадок и главные напряжения
  2. Максимальные касательные напряжения
  3. Относительные деформации
  4. Относительное изменение о’объема
  5. Удельную потенциальную энергию деформации.

Во-первых, определимся со знаками нормальных и касательных напряжений. Согласно правил знаков, в нашем случае ${\sigma _x} =  + 90$МПа, ${\sigma _y} =  - 20$МПа, $\tau  =  + 90$ МПа.

Угол поворота главных площадок

\[tg\,\,2\alpha  = \frac{{2\tau }}{{{\sigma _y} - {\sigma _x}}} = \frac{{2 \cdot 30}}{{ - 20 - 90}} =  - 0,545\]

\[2\alpha  = arctg( - 0,545) =  - 28,6^\circ \], \[\alpha  =  - 14,3^\circ \].

Главные напряжения

  • по тригонометрическим формулам

${\sigma _{\alpha 0}} = {\sigma _x}{\cos ^2}\alpha  + {\sigma _y}{\sin ^2}\alpha  - \sin 2\alpha  = $

$ = 90 \cdot {\cos ^2}( - 14,3^\circ ) - 20 \cdot {\sin ^2}( - 14,3^\circ ) - 30 \cdot \sin ( - 28,6^\circ ) = 97,7 $МПа.

$ \sigma _{\alpha 0}^` = {\sigma _y}{\cos ^2}\alpha  + {\sigma _x}{\sin ^2}\alpha  + \tau \sin 2\alpha  = $

$ =  - 20 \cdot {\cos ^2}( - 14,3^\circ ) + 90 \cdot {\sin ^2}( - 14,3^\circ ) + 30 \cdot \sin ( - 28,6^\circ ) =  - 27,7 $МПа.

  • без тригонометрических формул

\[{\sigma _{\frac{{\max }}{{\min }}}} = \frac{{{\sigma _x} + {\sigma _y}}}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\frac{{{\sigma _x} - {\sigma _y}}}{2}} \right)}^2} + {\tau ^2}}  = \]

$ = \frac{{90 - 20}}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\frac{{90 + 20}}{2}} \right)}^2} + {{30}^2}}  = 35+- 62,7$МПа

${\sigma _{\max }} = 35 + 62,7 = 97,7$МПа

${\sigma _{\min }} = 35 - 62,7 =  - 27,7$МПа

Проверка

${\sigma _x} + {\sigma _y} = 90 - 20 = 70$МПа

${\sigma _{\max }} + {\sigma _{\min }} = 97,7 - 27,7 = 70$МПа

Нумерация напряжений

\[{\sigma _1} \leqslant {\sigma _2} \leqslant {\sigma _3}\]

${\sigma _1} = 97,7$МПа, ${\sigma _2} = 0$МПа, ${\sigma _3} =  - 27,7$МПа.

Максимальные касательные напряжения

${\tau _{\max }} = \frac{{{\sigma _1} - {\sigma _3}}}{2} = \frac{{97,7 + 27,7}}{2} = 62,7$МПа.

Деформации по главным осям

\[\begin{gathered} {\varepsilon _1} = \frac{1}{E}\left( {{\sigma _1} - \nu ({\sigma _2} + {\sigma _3})} \right) = \frac{1}{{2 \cdot {{10}^5}}}\left( {97,7 - 0,3 \cdot \left( {0 - 27,7} \right)} \right) = 5,29 \cdot {10^{ - 4}} \hfill \\   {\varepsilon _2} = \frac{1}{E}\left( {{\sigma _2} - \nu ({\sigma _1} + {\sigma _3})} \right) = \frac{1}{{2 \cdot {{10}^5}}}\left( {0 - 0,3 \cdot \left( {97,7 - 27,7} \right)} \right) = - 1,05 \cdot {10^{ - 4}} \hfill \\   {\varepsilon _3} = \frac{1}{E}\left( {{\sigma _3} - \nu ({\sigma _1} + {\sigma _2})} \right) = \frac{1}{{2 \cdot {{10}^5}}}\left( { - 27,7 - 0,3 \cdot \left( {97,7 + 0} \right)} \right) = - 2,84 \cdot {10^{ - 4}} \hfill \\ \end{gathered} \]

Относительное изменение обьема

\[{\varepsilon _v} = {\varepsilon _1} + {\varepsilon _2} + {\varepsilon _3} = 5,29 \cdot {10^{ - 4}} - 1,05 \cdot {10^{ - 4}} - 2,84 \cdot {10^{ - 4}} = 1,4 \cdot {10^{ - 4}}\],

или

\[{\varepsilon _v} = \frac{{1 - 2\nu }}{E}\left( {{\sigma _1} + {\sigma _2} + {\sigma _3}} \right) = \frac{{1 - 2 \cdot 0,3}}{{2 \cdot {{10}^5}}}\left( {97,7 + 0 - 27,7} \right) = 1,4 \cdot {10^{ - 4}}\].

Удельная потенциальная энергия деформации

$u = \frac{{{\sigma _1} \cdot {\varepsilon _1}}}{2} + \frac{{{\sigma _2} \cdot {\varepsilon _2}}}{2} + \frac{{{\sigma _3} \cdot {\varepsilon _3}}}{2} = \left( {\frac{{97,7 \cdot 5,29}}{2} + 0 + \frac{{ - 27,6 \cdot 2,84}}{2}} \right) \cdot {10^{ - 4}} = 0,03$МДж/м3.