Расчет статически неопределимых систем

Статически неопределимые системы

Схема решения задач (нагрузки $ \Rightarrow $ внутренние силы $ \Rightarrow $ напряжения и деформации) не является приемлемой для решения целого ряда прикладных задач сопротивления материалов. Для таких задач невозможно определить внутренние силы и напряжения непосредственно из внешней нагрузки, не рассматривая процесс деформирования конструкции.

Статически невизначними называются системы, внутренние силы в которых невозможно определить только из уравнений статики.

Раскрытие статической невизначності – это нахождение внутренних сил в элементах статически невыдающихся систем.

Рассмотрим стержневую систему, показанную на рис. В стержнях возникают продольные силы ${N_1} - {N_3}$. Для нижнего узла можем записать два уравнения равновесия

$\Sigma X = {N_3} \cdot \sin \alpha  - {N_1} \cdot \sin \alpha  = 0$, из этого уравнения ${N_1} = {N_3}$,

$\Sigma Y = {N_3} \cdot \cos \alpha  + {N_1} \cdot \cos \alpha  + {N_2} - F = 0$, то есть  $2{N_1} \cdot \cos \alpha  + {N_2} = F$,

то есть остается одно уравнение с двумя неизвестными.

Другими словами, остается неизвестным распределение (отношение) усилия в крайних и среднем стержне. Действительно, в случае, когда, например, средний стержень будет иметь меньшую площадь (или материал, который является более деформативним), на этот стержень будет приходиться меньше усилия.

Кроме того, что невозможно определить внутренних сил из уравнений статики, на величину внутренних сил в отдельном стержне влияют такие его характеристики:

– материал (модуль упругости);

– площадь поперечного сечения;

– длина.

Вывод: чем более жестким является элемент в статически невизначній схеме, тем больше нагрузки он отбирает на себя.

Рис. 9.22

Кроме этого, статически неопределимые системы очень чувствительны к неточностям изготовления элементов и к неоднородности изменения температуры в них.

 

 

Задача 2

Визначити напруження в композитному стержні

Візьмемо конкретний приклад

Підібрати площу перерізу

Дано       ${E_{Al}} = 0,7 \cdot {10^{11}}$             $F = 5000$

       мм2.

     МПа. (1,42р.)

$A = 16,2 \cdot 1,42 = 23$мм2.

Задача 3

Определить грузоподъемность стержневой системы с допустимыми напряжениями и разрушающими нагрузками.

Рис. 9.23

Данная система имеет степень статической невизначності $n = m - 3 = 4 - 3 = 1$, то есть она является один раз статически невизначною. Для раскрытия статической невизначності необходимо составить дополнительно к уравнениям равновесия составить одно уравнение совместимости деформации.

Уравнения равновесия – сумма моментов относительно шарнира $O$:

$\Sigma {M_o} = {N_1} \cdot 2 + {N_2} \cdot \sin \left( {30^\circ } \right) \cdot 5 - F \cdot 6 = 0$.

Расчет за допустимыми напряжениями

Чтобы составить уравнения совместимости деформаций, необходимо рассмотреть деформированное состояние системы и найти соотношение между видовженнями первого и второго стержней. от этого соотношения можно перейти к соотношения между внутренними силами в стержнях ${N_1}$ и ${N_2}$.

Удлинение стержней $\Delta {l_1}$ и $\Delta {l_2}$ соотносятся так:

$\varphi  \approx tg\varphi  = \frac{{\Delta {l_1}}}{2} = \frac{{\Delta {l_2}}}{{\sin \left( {30^\circ } \right) \cdot 5}} \Rightarrow \frac{{\Delta {l_1}}}{{\Delta {l_2}}} = \frac{2}{{5\sin \left( {30^\circ } \right)}}$.

По закону Гука

$\Delta {l_1} = \frac{{{N_1} \cdot {l_1}}}{{E \cdot {A_1}}}$;      $\Delta {l_2} = \frac{{{N_2} \cdot {l_2}}}{{E \cdot {A_2}}}$.

Есть,

$\frac{{\Delta {l_1}}}{{\Delta {l_2}}} = \frac{{{N_1} \cdot {l_1}}}{{E \cdot {A_1}}}:\frac{{E \cdot {A_2}}}{{{N_2} \cdot {l_2}}} = \frac{{{N_1}}}{{{N_2}}} \cdot \frac{{{l_1}}}{{{l_2}}} \cdot \frac{{{A_2}}}{{{A_1}}}$.

$\frac{{{N_1}}}{{{N_2}}} = \frac{{\Delta {l_1}}}{{\Delta {l_2}}} \cdot \frac{{{l_2}}}{{{l_1}}} \cdot \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{2}{{5\sin \left( {30^\circ } \right)}} \cdot \frac{1}{{\sin \left( {30^\circ } \right)}} \cdot \frac{{140}}{{70}} = 3.2\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{N_1} = 3.2{N_2}$.

Подставляем полученное соотношение между усилиями в уравнения равновесия

$3.2{N_2} \cdot 2 + {N_2} \cdot \sin \left( {30^\circ } \right) \cdot 5 = F \cdot 6$

${N_2}\left( {6.4 + \sin \left( {30^\circ } \right) \cdot 5} \right) = F \cdot 6$

${N_2} = 0,674 F$

${N_1} = 3.2 \cdot 0.674 F = 2,16 F$

Напряжение в стержнях

${\sigma _1} = \frac{{{N_1}}}{{{A_1}}} = \frac{{2.16 F}}{{140 \cdot {{10}^{ - 6}}}} = 15400F$

${\sigma _2} = \frac{{{N_2}}}{{{A_2}}} = \frac{{0.674 F}}{{70 \cdot {{10}^{ - 6}}}} = 9600F$.

Таким образом видим, что при условиях упругой работы напряжение в первом стержне всегда будут большими, чем во втором, следовательно допустимая сила $[F]$ будет определяться из напряжений в первом стержне

$[\sigma ] = 15400 \cdot [F]$

$[F] = \frac{{[\sigma ]}}{{15400}} = \frac{{160 \cdot {{10}^6}}}{{15400}} = 10400$Н = 10,4 кН.

Расчет за разрушающими нагрузками

Согласно принципу расчета за разрушающими нагрузками разрушения системы произойдет, когда напряжения в обоих стержнях достигнут предела текучести. В этом случае внутренние усилия в стержнях будут такими:

$N_1^T = 240 \cdot 140 = 33600$ Н

$N_2^T = 240 \cdot 70 = 16800$ Н

Подставим эти значения в уравнения равновесия

\[{N_1} \cdot 2 + {N_2} \cdot \sin \left( {30^\circ } \right) \cdot 5 = F \cdot 6\]

\[33600 \cdot 2 + 16800 \cdot \sin \left( {30^\circ } \right) \cdot 5 = F \cdot 6\],

то есть усилия в момент текучести обоих стержней будет таким

${F^T} = \frac{{33600 \cdot 2 + 16800 \cdot \sin \left( {30^\circ } \right) \cdot 5}}{6} = 18200$ Н.

Допускаемое усилие определяем, поделив полученное значение на коэффициент запаса, в данном случае $k = 1.5$

$\left[ F \right] = \frac{{18200}}{{1,5}} = 12100$ Н = 12,1 кН.

Допускаемое усилие по второму методу оказалось в $12,1/10,4 = 1,16$ раза больше. Во всех статически невыдающихся системах допускаемое усилие по методу разрушающих нагрузок оказывается больше допустимого усилия, полученного методом с допустимыми напряжениями (в крайнем случае они равны между собой).