Расчет балки

Расчет статически неопределимой балки

Поскольку данная балка является статически неопределимой, для нее нельзя определить внутренние усилия и реакции опор только методами статики (с помощью уравнений равновесия).

Как правило, для таких случаев сначала следует раскрыть статическую неопределимость, используя один из методов:

• метод сил
• метод уравнения трех моментов
• метод интегрирования дифференциального уравнения изгиба

При раскрытии статической неопределимости определяются некоторые параметры (реакции опор либо опорные моменты), имея которые дальнейший расчет уже возможен с помощью уравнений равновесия.

Будем считать, что статическая неопределимость раскрыта и эпюры уже построены

Записываем уравнения поперечных сил и изгибающих моментов на участках балки , используя метод сечений

На участке AB: (0 ≤ z₁ ≤ 1 м )

Q(z₁) = + R_A = + 17.94 = 17.938 кН

M(z₁) = + R_A · z - M = + 17.94 · z - 14

M(0) = -14 кНм

M(1) = 3.938 кНм

На участке BC: (1 ≤ z₂ ≤ 4 м )

Q(z₂) = + R_A - P = + 17.94 - 20 = -2.063 кН

M(z₂) = + R_A · z - P·(z - 1) - M = + 17.94 · z - 20·(z - 1) - 14

M(1) = 3.938 кНм

M(4) = -2.25 кНм

На участке CD: (4 ≤ z₃ ≤ 6 м )

Q(z₃) = + R_A + R_C - q·(z - 4) - P = + 17.94 + 9.188 - 8·(z - 4) - 20

Q(4) = 7.125 кН

Q(6) = -8.875 кН

M(z₃) = + R_A · z + R_C · (z - 4) - q·(z - 4)²/2 - P·(z - 1) - M = + 17.94 · z + 9.188 · (z - 4) - 8·(z - 4)²/2 - 20·(z - 1) - 14

M(4) = -2.25 кНм

M(6) = -4 кНм

Поскольку поперечная сила на участке пересекает ноль при z = 4.89 м, в этой точке будет экстремум на эпюре M

M(4.89) = 0.923 кНм

На участке DE: (6 ≤ z₄ ≤ 7 м )

Q(z₄) = + R_A + R_C + R_D - q·(z - 4) - P = + 17.94 + 9.188 + 16.88 - 8·(z - 4) - 20

Q(6) = 8 кН

Q(7) = 0 кН

M(z₄) = + R_A · z + R_C · (z - 4) + R_D · (z - 6) - q·(z - 4)²/2 - P·(z - 1) - M = + 17.94 · z + 9.188 · (z - 4) + 16.88 · (z - 6) - 8·(z - 4)²/2 - 20·(z - 1) - 14

M(6) = -4 кНм

M(7) = 0 кНм

Максимальный момент в балке составляет M_max = 14 кНм. По этому значению подбираем сечение балки.

Условие прочности при изгибе σ = M_max / W ≤ [σ]

Отсюда, минимально необходимый момент сопротивления вычисляем по формуле W_min=M_max / [σ]

Подбираем двутавровое сечение при допускаемом напряжении [σ] = 160 МПа
W_min=14000 / 160 = 87.5 см³
Из сортамента выбираем двутавр №16 с моментом сопротивления W = 109.13 см³ и площадью A = 20.2 см²
Максимальные нормальные напряжения в двутавре составляют
σ_max = M_max/Wx = 14000/109.13 = 128.29 МПа
Максимальные касательные напряжения в двутавре (на центральной оси) составляют
τ_max = Q_max×Sx/b×Ix = 17900×54.6×10^-6/0.005×873×10^-8 = 22.39×10⁶ Па = 22.39 МПа
Касательные напряжения на границе полки и стенки составляют
τ_max = Q_max×Sx'/b×Ix = 17900×48.08×10^-6/0.005×873×10^-8 = 19.717×10⁶ Па = 19.717 МПа,
где статический момент отсеченной полки составляет
Sx'=b×t×(h-t)/2=8.1×0.78×(16-0.78)/2=48.08 см³.
Эпюры нормальных и касательных напряжений для двутавра:

Определяем прогибы и углы поворота сечений с помощью метода начальных параметров

Участок AB: (0 ≤ z₁ ≤ 1 м )

EJ×φ(z) = EJ×φ₀ + R_A·z²/2 - M· z

EJ×v(z) = EJ×v₀ + EJ×φ₀×z + R_A·z³/6 - M· z²/2

Участок BC: (1 ≤ z₂ ≤ 4 м )

EJ×φ(z) = EJ×φ₀ + R_A·z²/2 - P·(z - 1)²/2 - M· z

EJ×v(z) = EJ×v₀ + EJ×φ₀×z + R_A·z³/6 - P·(z - 1)³/6 - M· z²/2

Участок CD: (4 ≤ z₃ ≤ 6 м )

EJ×φ(z) = EJ×φ₀ + R_A·z²/2 + R_C·(z - 4)²/2 - q·(z - 4)³/6 - P·(z - 1)²/2 - M· z

EJ×v(z) = EJ×v₀ + EJ×φ₀×z + R_A·z³/6 + R_C·(z - 4)³/6 - q·(z - 4)⁴/24 - P·(z - 1)³/6 - M· z²/2

Участок DE: (6 ≤ z₄ ≤ 7 м )

EJ×φ(z) = EJ×φ₀ + R_A·z²/2 + R_C·(z - 4)²/2 + R_D·(z - 6)²/2 - q·(z - 4)³/6 - P·(z - 1)²/2 - M· z

EJ×v(z) = EJ×v₀ + EJ×φ₀×z + R_A·z³/6 + R_C·(z - 4)³/6 + R_D·(z - 6)³/6 - q·(z - 4)⁴/24 - P·(z - 1)³/6 - M· z²/2

Начальный прогиб и начальный угол поворота определяем по условиям закрепления балки:

- начальный угол поворота EJ·φ₀ = 2.667 кНм²

- начальный прогиб EJ·v₀ = 0 кНм³

Углы поворота и прогибы сечений

Участок AB

EJ×φ(0) = 2.667 кНм²

EJ×v(0) = 0 кНм³

EJ×φ(0.25) = -0.2728 кНм²

EJ×v(0.25) = 0.2759 кНм³

EJ×φ(0.5) = -2.091 кНм²

EJ×v(0.5) = -0.04297 кНм³

EJ×φ(0.75) = -2.788 кНм²

EJ×v(0.75) = -0.6763 кНм³

EJ×φ(1) = -2.365 кНм²

EJ×v(1) = -1.344 кНм³

Участок BC

EJ×φ(1) = -2.365 кНм²

EJ×v(1) = -1.344 кНм³

EJ×φ(1.75) = 0.008464 кНм²

EJ×v(1.75) = -2.155 кНм³

EJ×φ(2.5) = 1.221 кНм²

EJ×v(2.5) = -1.621 кНм³

EJ×φ(3.25) = 1.274 кНм²

EJ×v(3.25) = -0.6128 кНм³

EJ×φ(4) = 0.1667 кНм²

EJ×v(4) = 0 кНм³

Участок CD

EJ×φ(4) = 0.1667 кНм²

EJ×v(4) = 0 кНм³

EJ×φ(4.5) = -0.2344 кНм²

EJ×v(4.5) = -0.07031 кНм³

EJ×φ(5) = 0.1458 кНм²

EJ×v(5) = -0.1042 кНм³

EJ×φ(5.5) = 0.3073 кНм²

EJ×v(5.5) = 0.03906 кНм³

EJ×φ(6) = -0.75 кНм²

EJ×v(6) = 0 кНм³

Участок DE

EJ×φ(6) = -0.75 кНм²

EJ×v(6) = 0 кНм³

EJ×φ(6.25) = -1.521 кНм²

EJ×v(6.25) = -0.293 кНм³

EJ×φ(6.5) = -1.917 кНм²

EJ×v(6.5) = -0.7292 кНм³

EJ×φ(6.75) = -2.063 кНм²

EJ×v(6.75) = -1.23 кНм³

EJ×φ(7) = -2.083 кНм²

EJ×v(7) = -1.75 кНм³