Расчет балки

Расчетная схема №925683

Поскольку эта схема не Ваша, Вы не можете ее редактировать. Для редактирования создайте новую схему.


Подробный ход решения - расчет балки, построение эпюр

Составим уравнения равновесия для определения реакций опор

Равнодействующая распределенной нагрузки q равна Q1 = q · 3 = 8· 3 = 24кН

Σ MB = + Q1 · 0.5 + M + P · 2 - RD · 5= + 24 · 0.5 + 14 + 12 · 2 - RD · 5=0

Σ MD = - Q1 · 4.5 + M - P · 3 + RB · 5= - 24 · 4.5 + 14 - 12 · 3 + RB · 5=0

Из этих уравнений находим реакции опор

RB = 26кН.

RD = 10кН.

Проверка

ΣY = + RB + RD - Q1 - P = + 26 + 10 - 24 - 12 = 0

Записываем уравнения поперечных сил и изгибающих моментов на участках балки , используя метод сечений

На участке AB: (0 ≤ z1 ≤ 1 м )

Q(z1) = - q·z = - 8·z

Q(0) = 0 кН

Q(1) = -8 кН

M(z1) = - q·z2/2 + M = - 8·z2/2 + 14

M(0) = 14 кНм

M(1) = 10 кНм

Поскольку поперечная сила на участке пересекает ноль при z = 0 м, в этой точке будет экстремум на эпюре M

M(0) = 14 кНм

На участке BC: (1 ≤ z2 ≤ 3 м )

Q(z2) = + RB - q·z = + 26 - 8·z

Q(1) = 18 кН

Q(3) = 2 кН

M(z2) = + RB · (z - 1) - q·z2/2 + M = + 26 · (z - 1) - 8·z2/2 + 14

M(1) = 10 кНм

M(3) = 30 кНм

На участке CD: (3 ≤ z3 ≤ 6 м )

Q(z3) = + RB - Q1 - P = + 26 - 24 - 12 = -10 кН

M(z3) = + RB · (z - 1) - Q1·(z - 1.5) + M - P·(z - 3) = + 26 · (z - 1) - 24·(z - 1.5) + 14 - 12·(z - 3)

M(3) = 30 кНм

M(6) = -0 кНм

Максимальный момент в балке составляет Mmax = 30 кНм. По этому значению подбираем сечение балки.

Условие прочности при изгибе σ = Mmax / W ≤ [σ]

Отсюда, минимально необходимый момент сопротивления вычисляем по формуле Wmin=Mmax / [σ]


Подбираем двутавровое сечение при допускаемом напряжении [σ] = 160 МПа
Wmin=30000 / 160 = 187.5 см3
Из сортамента выбираем двутавр №22 с моментом сопротивления W = 231.82 см3 и площадью A = 30.6 см2
Максимальные нормальные напряжения в двутавре составляют
σmax = Mmax/Wx = 30000/231.82 = 129.41 МПа
Максимальные касательные напряжения в двутавре (на центральной оси) составляют
τmax = Qmax×Sx/b×Ix = 18000×114.96×10-6/0.0054×2550×10-8 = 15.027×106 Па = 15.027 МПа
Касательные напряжения на границе полки и стенки составляют
τmax = Qmax×Sx'/b×Ix = 18000×101.11×10-6/0.0054×2550×10-8 = 13.217×106 Па = 13.217 МПа,
где статический момент отсеченной полки составляет
Sx'=b×t×(h-t)/2=11×0.87×(22-0.87)/2=101.11 см3.
Эпюры нормальных и касательных напряжений для двутавра:

Подбираем круг.
Wmin=30000/20=1500 см3
Момент сопротивления сплошного круглого сечения
W=π×d3 / 32
d3=32×W / π = 32×1500 / π = 15287
Диаметр сечения будет таким d=24.8 см
Площадь сечения
A=π×d2/4=π×24.82/4=482.81 см2
Максимальные нормальные напряжения составляют
σmax = 32×Mmax/π×d3 = 32×30000/π×24.83 = 20.04 МПа
Максимальные касательные напряжения для круга составляют
τmax = 4Qmax/3A = 4×18000/3×482.81×100 = 0.497 МПа
Эпюры нормальных и касательных напряжений для круга:

Подбираем трубу с отношением диаметров α = d/D = 0.9
Wmin=30000 / 20=1500 см3
Момент сопротивления трубчатого сечения
W=π×D3 ×(1-α4)/32
D3=32×W / π×(1-α4) = 32×1500 / π×(1-0.94)=44451
Диаметр сечения будет таким D=35.4 см
Площадь сечения A=π×D2(1-α2)/4=π×35.42(1-0.92)/4=186.91 см2
Максимальные нормальные напряжения составляют
σmax = 32×Mmax/π×D3×(1-α4) = 32×30000/π×35.43×(1-0.94) = 20.04 МПа
Максимальные касательные напряжения для трубы определим по формуле Журавского
τmax = Qmax×Sx/b×Ix, где b=D-d
Статический момент полусечения
Sx=2R3/3-2r3/3=(D3-d3)/12=(35.43-(35.4×0.9)3)/12=1001.84 см3
Момент инерции сечения
Ix=π×D4×(1-α4)/64=π×35.44×(1-0.94)/64=26496.89 см4
τmax = 18000×1001.84×10-6/(35.4-0.9×35.4)×0.01×26496.89-8=0.019×106 Па = 0.019 МПа
Эпюры нормальных и касательных напряжений для трубы:

Подбираем квадрат.
Wmin=30000 / 20=1500 см3
Момент сопротивления квадратного сечения
W=a3/6
Сторона квадрата будет такой a= 20.8 см
Площадь сечения A=a2=20.82=432.64 см2

Подбираем прямоугольное сечение с отношением сторон h / b=2.5
Wmin=30000 / 20 = 1500 см3
Момент сопротивления прямоугольного сечения
W=b×h2 / 6 = b3 × 2.52 / 6 = b3×1.04
b3=1500 / 1.04=1442
Ширина сечения b=11.3 см, Высота сечения h=b×2.5=11.3×2.5=28.25 см
Площадь сечения A=b×h=11.3×28.25=319.225 см2
Максимальные нормальные напряжения составляют
σmax = 6×Mmax/b×h2 = 6×30000/11.3×28.252 = 19.96 МПа
Максимальные касательные напряжения для прямоугольника составляют
τmax = 3Qmax/2A = 3×18000/2×319.225×100 = 0.846 МПа
Эпюры нормальных и касательных напряжений для прямоугольного сечения:

Определяем прогибы и углы поворота сечений с помощью метода начальных параметров

Участок AB: (0 ≤ z1 ≤ 1 м )

EJ×φ(z) = EJ×φ0 - q·z3/6 + M· z

EJ×v(z) = EJ×v0 + EJ×φ0×z - q·z4/24 + M· z2/2

Участок BC: (1 ≤ z2 ≤ 3 м )

EJ×φ(z) = EJ×φ0 + RB·(z - 1)2/2 - q·z3/6 + M· z

EJ×v(z) = EJ×v0 + EJ×φ0×z + RB·(z - 1)3/6 - q·z4/24 + M· z2/2

Участок CD: (3 ≤ z3 ≤ 6 м )

EJ×φ(z) = EJ×φ0 + RB·(z - 1)2/2 - q1·z3/6 + q1·(z - 3)3/6 + M· z - P·(z - 3)2/2

EJ×v(z) = EJ×v0 + EJ×φ0×z + RB·(z - 1)3/6 - q1·z4/24 + q1·(z - 3)4/24 + M· z2/2 - P·(z - 3)3/6

Начальный прогиб и начальный угол поворота определяем по условиям закрепления балки:

- начальный угол поворота EJ·φ0 = -65.6 кНм2

- начальный прогиб EJ·v0 = 58.93 кНм3

Углы поворота и прогибы сечений

Участок AB

EJ×φ(0) = -65.6 кНм2

EJ×v(0) = 58.93 кНм3

EJ×φ(0.25) = -62.12 кНм2

EJ×v(0.25) = 42.97 кНм3

EJ×φ(0.5) = -58.77 кНм2

EJ×v(0.5) = 27.86 кНм3

EJ×φ(0.75) = -55.66 кНм2

EJ×v(0.75) = 13.57 кНм3

EJ×φ(1) = -52.93 кНм2

EJ×v(1) = 0 кНм3

Участок BC

EJ×φ(1) = -52.93 кНм2

EJ×v(1) = 0 кНм3

EJ×φ(1.5) = -45.85 кНм2

EJ×v(1.5) = -24.86 кНм3

EJ×φ(2) = -35.27 кНм2

EJ×v(2) = -45.27 кНм3

EJ×φ(2.5) = -22.18 кНм2

EJ×v(2.5) = -59.71 кНм3

EJ×φ(3) = -7.6 кНм2

EJ×v(3) = -67.2 кНм3

Участок CD

EJ×φ(3) = -7.6 кНм2

EJ×v(3) = -67.2 кНм3

EJ×φ(3.75) = 12.09 кНм2

EJ×v(3.75) = -65.17 кНм3

EJ×φ(4.5) = 26.15 кНм2

EJ×v(4.5) = -50.48 кНм3

EJ×φ(5.25) = 34.59 кНм2

EJ×v(5.25) = -27.35 кНм3

EJ×φ(6) = 37.4 кНм2

EJ×v(6) = 0 кНм3


Поскольку эта схема не Ваша, Вы не можете ее редактировать. Для редактирования создайте новую схему.