Метод интегрирования дифференциального уравнения изгиба балки

Наиболее естественным методом определения функции прогибов является метод непосредственного интегрирования уравнения (?).

$EI\,y"(x) = M(x)$ полученное дифференциальное уравнение;

$EI\,y'(x) = EI\,\varphi (x) = \int {M(x)} dx + C$ первый интеграл (уравнение углов поворота);

$EI\,y(x) = \int {EI\,\varphi (x)} dx = \iint {M(x)}dxdx + C\,x + D$ второй интеграл (уравнение прогибов).

Кроме интегрирования уравнения изгибающих моментов $M(x)$, для получения уравнения прогибов необходимо определить две постоянных интегрирования $C$ и $D$ из условий закрепления балки. При этом надо учесть, что шарнирная опора исключает прогибы балки, а жесткое зажатие прогибы и углы поворота.

Физический смысл постоянных интегрирования такой: при $x = 0$ угол поворота $EI\,\varphi (0) = C$, а прогиб $EI\,y(0) = D$, то есть стала $C$ равен углу поворота в начале координат, стала $D$ равен прогибу балки в начале координат.

Консольная балка с силой на конце

На левой опоре возникают реакции вертикальная сила $F$ и момент $M = F \cdot l$.

Уравнения изгибающих моментов

$M(x) =  - Fl + Fx = F(x - l)$

Уравнение углов поворота

$EI\,y'(x) = EI\,\varphi (x) = \int {F(x - l)} dx + C = F(\frac{{{x^2}}}{2} - lx) + C$

Уравнение прогибов

$EI\,y(x) = \int {EI\,\varphi (x)} dx = \int {F(\frac{{{x^2}}}{2} - lx)} \,dx + Cx + D = F(\frac{{{x^3}}}{6} - l\frac{{{x^2}}}{2}) + Cx + D$

Так как в сечении $A$ (в зажатии) отсутствует прогиб и угол поворота, получим следующую систему уравнений

$\left\{ \begin{gathered} EI\,\varphi (0) = F(\frac{{{0^2}}}{2} - l \cdot 0) + C = 0 \hfill \\  EI\,y(0) = F(\frac{{{0^3}}}{6} - l\frac{{{0^2}}}{2}) + C \cdot 0 + D = 0. \hfill \\    \end{gathered}  \right.$Решенияобязательства этой системы уравнений приводит к результату $C = 0$, $D = 0$.

Окончательно функция прогибов для рассматриваемой балки имеет вид

$EI\,y(x) = F(\frac{{{x^3}}}{6} - l\frac{{{x^2}}}{2})$.

Максимальный прогиб будет иметь место при $x = l$

$EI\,y(l) = F(\frac{{{l^3}}}{6} - l\frac{{{l^2}}}{2}) =  - F\frac{{{l^3}}}{3}$,

где знак «» указывает направление перемещений в сторону, противоположную положительному направлению оси $y$. Стрела прогиба $f = \frac{{F\,{l^3}}}{{3\,EI}}$.

Максимальный угол поворота сечения также будет иметь место при $x = l$

$EI\,\varphi (l) = F(\frac{{{l^2}}}{2} - l \cdot l) =  - \frac{{F \cdot {l^2}}}{2}$    или    ${\varphi _{\max }} =  - \frac{{F\,{l^2}}}{{2\,EI}}$,

знак «» указывает направление угла поворота сечение поворачивается по часовой стрелке.

Шарнирно закрепленная балка с силой посередине

На опорах возникают вертикальные реакции ${R_A} = {R_B} = F/2$.

Поскольку уравнение изгибающих моментов разное на двух разных участках, функция прогибов также будет разная. Используя полную симметрию расчетной схемы, далее будем рассматривать только левую участок, для которой уравнение изгибающих моментов имеет вид

$M(x) = \frac{F}{2}x$, то есть $EI\,y"(x) = \frac{F}{2}x$, интегрируем дважды

$EI\,y'(x) = \int {\frac{F}{2}x} \,dx + C = F\frac{{{x^2}}}{4} + C$

$EI\,y(x) = \int {F\frac{{{x^2}}}{4}} \,dx + Cx + D = F\frac{{{x^3}}}{{12}} + Cx + D$

Стали интегрирования $C$ и $D$ полученного уравнения справедливы только для первого участка, поэтому их необходимо определять из условий, повсвязанных с перемещениями на первом участке. Такими условиями является равенство нулю прогибов на сопротивлении $A$ ($x = 0$) и, исходя из симметрии, равенство нулю угла поворота под силой $F$ ($x = l/2$). Имеем систему уравнений

 

$\left\{ \begin{gathered}  EI\,y(0) = F\frac{{{0^3}}}{{12}} + C \cdot 0 + D = 0\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,D = 0; \hfill \\  EI\,\varphi \left( {\frac{l}{2}} \right) = F\frac{{{{\left( {\frac{l}{2}} \right)}^2}}}{4} + C = 0\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,C =  - \frac{{F\,{l^2}}}{{16}}. \hfill \\  \end{gathered}  \right.$

Окончательно функция прогибов для рассматриваемой балки имеет вид

$EI\,y(x) = F\frac{{{x^3}}}{{12}} - \frac{{F{l^2}}}{{16}}x$.

Максимальный прогиб будет иметь место при x = l/2$

$EI\,y(\frac{l}{2}) = F\frac{{{{(l/2)}^3}}}{{12}} - \frac{{F{l^2}}}{{16}} \cdot \frac{l}{2} = F{l^3}\left( {\frac{1}{{96}} - \frac{1}{{32}}} \right) = F{l^3}\left( {\frac{1}{{96}} - \frac{3}{{96}}} \right) =  - \frac{{F\,{l^3}}}{{48}}$,

Стрела прогиба $f = \frac{{F\,{l^3}}}{{48\,EI}}$.

Максимальные углы поворота сечений будут на опорах ($x = 0$ и $x = l$).

${\varphi _A} = \varphi (0) =  - \frac{{F \cdot {l^2}}}{{16\,EI}}$    или    ${\varphi _B} = \varphi (l) = \frac{{F \cdot {l^2}}}{{16\,EI}}$.

Консольная балка с равномерно распределенной нагрузкой

На левой опоре возникают реакции вертикальная сила $ql$ и момент $M = \frac{{q{l^2}}}{2}$.

$M(x) =  - \frac{{q{l^2}}}{2} + ql \cdot x - \frac{{q{x^2}}}{2}$, дважды интегрируем

$EI\,y'(x) = q \cdot \left( { - \frac{{{l^2}}}{2}x + \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{6}} \right) + C$;

$EI\,y(x) = q \cdot \left( { - \frac{{{l^2}}}{2}\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{6} - \frac{{{x^4}}}{{24}}} \right) + Cx + D$.

Так как в сечении $A$ (в зажатии) отсутствует прогиб и угол поворота, получим следующую систему уравнений

 

$\left\{ \begin{gathered}     EI\,y'(0) = F(\frac{{{0^2}}}{2} - l \cdot 0) + C = 0 \hfill \\     EI\,y(0) = F(\frac{{{0^3}}}{6} - l\frac{{{0^2}}}{2}) + C \cdot 0 + D = 0. \hfill \\  \end{gathered}  \right.$

Решенияобязательства этой системы уравнений приводит к результату $C = 0$, $D = 0$.

Окончательно функция прогибов для рассматриваемой балки имеет вид

$EI\,y(x) = q \cdot \left( { - \frac{{{l^2}}}{2}\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{6} - \frac{{{x^4}}}{{24}}} \right)$.

Максимальный прогиб будет иметь место при $x = l$

$EI\,y(l) = q \cdot \left( { - \frac{{{l^2}}}{2}\frac{{{l^2}}}{2} + \frac{{{l^3}}}{6} - \frac{{{l^4}}}{{24}}} \right) = q{l^4} \cdot \left( { - \frac{6}{{24}} + \frac{4}{{24}} - \frac{1}{{24}}} \right) =  - \frac{3}{{24}}q{l^4} =  - \frac{1}{8}q{l^4}$,

Стрела прогиба $f = \frac{{q\,{l^4}}}{{8\,EI}}$.

Максимальный угол поворота сечения также будет иметь место при $x = l$

$EI\,\varphi (l) = q \cdot \left( { - \frac{{{l^2}}}{2}l + \frac{{{l^2}}}{2} - \frac{{{l^3}}}{6}} \right) = q{l^3} \cdot \left( { - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6}} \right) =  - \frac{{q{l^3}}}{6}$    или    ${\varphi _{\max }} =  - \frac{{q\,{l^3}}}{{6\,EI}}$.

Новости сайта:

19-03-2017 00:00

Процент по партнерской программе увеличен до 30%.


17-03-2017 09:00

Добавлены опции в расчете рам и ферм.

Теперь можно нажатием одной кнопки:

  • убрать все нагрузки либо опоры
  • сделать соединения всех узлов шарнирными либо жесткими
  • скопировать / вставить расчетную схему

Напоминаем, несколькими днями ранее добавлена возможность задания треугольной (трапециедальной) распределенной нагрузки.


16-03-2017 06:02

Хорошая новость! В расчете ферм добавлена возможность задания треугольной нагрузки.


17-01-2017 23:00

В расчете на растяжение-сжатие появилась возможность задавать распределенную нагрузку q


08-01-2017 00:00

Добавлен калькулятор двойной (билинейной) интерполяции и Косой изгиб, подбор сечения


04-01-2017 20:44

Обратите внимание на расчет балок - теперь уравнения внутренних сил расписаны еще более корректно, для консольнх балок всегда производится запись уравнений с незакрепленного края.


01-01-2017 00:00

С НОВЫМ ГОДОМ !!!


21-11-2016 22:00

Подправлен расчет геометрических характеристик - теперь текстовые пояснения более расписаны и аккуратны.