Промежуточные результаты в короткой форме

Элемент	x	y	A	x-xc	y-yc	Ix	Iy	Ixy
sw 30	2.52	15	40.5	-9.08	0	5810	327	0
rect	15.65	15	90	4.05	0	67.5	6750	0
force force	10	30		-1.6	15

Расчет составного сечения

Определим собственные характеристики каждого элемента, характеристики прокатных профилей выписываем из сортамента, характеристики простых фигур вычисляем по формулам

Элемент 1 - Швеллер 30 :
Ширина сечения 10 см
Высота сечения 30 см
Толщина полки 1.1 см
Толщина стенки 0.65 см
Площадь A=40.5 см²
Моменты инерции Ix=5810 см⁴, Iy=327 см⁴
Положение центра тяжести xc=2.52 см

Элемент 2 - Прямоугольник 30 x 3 см:
Площадь

A=30*3=90 см²

Моменты инерции

I_x=30*3³ / 12=67.5 см⁴

I_y=30³*3 / 12=6750 см⁴

Элемент 3 -

Общая площадь сечения равна сумме площадей отдельных фигур

A = + 40.5 + 90 = 130.5 см²

Проводим дополнительные оси, относительно которых определим центр тяжести всей фигуры.

Показываем на чертеже центры тяжести каждой фигуры и находим их координаты в дополнительных осях.

a₁ = 2.52 см; b₁ = 15 см

a₂ = 15.65 см; b₂ = 15 см

a₃ = 10 см; b₃ = 30 см

Центр тяжести сечения определим по формуле

Xc = ΣX_i*A_i / A

Yc = ΣY_i*A_i / A

X_C = (+X₁*A₁+X₂*A₂+X₃*A₃) / A = ( + 2.52*40.5 + 15.65*90 + 10*) / 130.5 = 11.6 см

Y_C = (+Y₁*A₁+Y₂*A₂+Y₃*A₃) / A = ( + 15*40.5 + 15*90 + 30*) / 130.5 = 15 см

Используя эти значения, указываем положение центра тяжести всей фигуры и проводим через него центральные оси

Находим координаты центров тяжести элементов в центральных осях

a₁ = 2.52-11.6 = -9.08 см

b₁ = 15-15 = 0 см

a₂ = 15.65-11.6 = 4.05 см

b₂ = 15-15 = 0 см

a₃ = 10-11.6 = -1.6 см

b₃ = 30-15 = 15 см

Центральные осевые моменты инерции сечения находим, используя формулу перехода между параллельными осями

I_x = Σ(I_X^{собств.} + b² *A) = +(5810+0²*40.5)+(68+0²*90)+(+15²*) = 5878 см⁴

I_y = Σ(I_Y^{собств.} + a² *A) = +(327+9.08²*40.5)+(6750+4.05²*90)+(+1.6²*) = 11890 см⁴

I_xy = Σ(I_XY^{собств.} + a*b*A) = +(0+0*(-9.08)*40.5)+(0+0*4.05*90)+(+15*(-1.6)*) = 0 см⁴

Угол наклона главных центральных осей

tg2α=2*I_xy / (I_y-I_x)=2*0 / (11890-5878)=0

α = arctg(0) / 2 = 0°

Главные моменты инерции - это моменты инерции относительно главных осей.

I_X0 = I_x*cos²(α) + I_y*sin²(α) - I_xy*sin(2*α) =

= 5878*cos²(0°) + 11890*sin²(0°) - 2*0*sin(2*0°) = 5878 см⁴

I_Y0 = I_y*cos²(α) + I_x*sin²(α) + I_xy*sin(2*α) =

= 11890*cos²(0°) + 5878*sin²(0°) + 2*0*sin(2*0°) = 11890 см⁴

Радиусы инерции

i_x² = I_X0 / A = 5878 / 130.5 = 45.04

i_x = 6.71 см

i_y² = I_Y0 / A = 11890 / 130.5 = 91.11

i_y = 9.55 см

Расчет внецентренного сжатия

Положение нулевой линии определяем по формулам

x_N = - i_y²/x_P = - 91.11/-1.6 = 56.9см

y_N = - i_x²/y_P = - 45.04/15 = -3см

Учитывая x_N и y_N, проводим нулевую линию.

Максимальные напряжения будут возникать в точках, наиболее удаленых от нулевой линии.

Напряжения при внецентренном сжатии определяются по формуле

σ = -P/A*(1+x_P*x/i_y²+y_P*y/i_x²)

где x_P = -1.6см, y_P = 15см - координаты положения силы в центральных осях

В нашем случае

σ = -P/(130.5*10^-4)*(1 - 1.6*x/91.11 + 15*y/45.04) = -P*(76.6 - 1.35*x + 25.5*y)

Здесь площадь подставляем в м², для перевода из см² умножаем на 10^-4

Для наиболее сжатой точки А с координатами x=-11.6см, y=15см

σ_A = -P*(76.6 - 1.35*-11.6 + 25.5*15) = -P*475

По условию прочности на сжатие

475*[P] = [σ_сж] = 220

[P] = 220/475 = 0.463MН = 463кН

Для наиболее растянутой точки B с координатами x=-1.6см, y=-15см

σ_B = -P*(76.6 - 1.35*-1.6 + 25.5*-15) = P*304

По условию прочности на растяжение

304*[P] = [σ_р] = 70

[P] = 70/304 = 0.23MН = 230кН

Итого, допускаемая сила, как меньшая из двух вариантов, составляет 230кН

Напряжения в наиболее сжатой точке А составляют

σ_A = -0.23*475 = 109 МПа

Для наиболее растянутой точки B

σ_B = 0.23*304 = 69.9 МПа