Моменты инерции при повороте осей

Рассмотрим определение моментов инерции плоской фигуры (рис) относительно осей ${X_1}$ и ${Y_1}$, возвращенных против часовой стрелки на угол $\alpha $ при известных моментах инерции относительно центральных осей $X$ и $Y$.

При повороте системы координат новые координаты точки ${x_1}$ и ${y_1}$ определяются в зависимости от старых координат $x$ и $y$ за зависимостями, известными из курса высшей математики

$\begin{gathered} {x_1} = x \cdot \cos \alpha  + y \cdot \sin \alpha , \hfill {y_1} = y \cdot \cos \alpha  - x \cdot \sin \alpha \hfill \end{gathered} $

Тогда моменты инерции относительно новых (возвращенных) осей определятся так

\[\begin{gathered}  {I_{{x_1}}} = \int\limits_A {y_1^2dA}  = \int\limits_A {{{\left( {y \cdot \cos \alpha  - x \cdot \sin \alpha } \right)}^2}dA}  = \int\limits_A {{{\left( {y \cdot \cos \alpha } \right)}^2}dA}  - \int\limits_A {2y \cdot x \cdot \cos \alpha  \cdot \sin \alpha \,dA}  +  \hfill \\     + \int\limits_A {{{\left( {x \cdot \sin \alpha } \right)}^2}dA}  = \int\limits_A {{y^2}dA}  \cdot {\cos ^2}\alpha  - \int\limits_A {yx\,dA}  \cdot \sin 2\alpha  + \int\limits_A {{x^2}dA}  \cdot {\sin ^2}\alpha  =  \hfill \\     = {I_x} \cdot {\cos ^2}\alpha  + {I_y} \cdot {\sin ^2}\alpha  - {I_{xy}} \cdot \sin 2\alpha , \hfill \\  \end{gathered} \]

\[\begin{gathered}   {I_{{y_1}}} = \int\limits_A {x_1^2dA}  = \int\limits_A {{{\left( {x \cdot \cos \alpha  + y \cdot \sin \alpha } \right)}^2}dA}  = \int\limits_A {{{\left( {x \cdot \cos \alpha } \right)}^2}dA}  + \int\limits_A {2y \cdot x \cdot \cos \alpha  \cdot \sin \alpha \,dA}  +  \hfill \\   + \int\limits_A {{{\left( {y \cdot \sin \alpha } \right)}^2}dA}  = \int\limits_A {{x^2}dA}  \cdot {\cos ^2}\alpha  + \int\limits_A {yx\,dA}  \cdot \sin 2\alpha  + \int\limits_A {{y^2}dA}  \cdot {\sin ^2}\alpha  =  \hfill \\   = {I_y} \cdot {\cos ^2}\alpha  + {I_x} \cdot {\sin ^2}\alpha  + {I_{xy}} \cdot \sin 2\alpha , \hfill \\\end{gathered} \]

\[\begin{gathered}  {I_{{x_1}{y_1}}} = \int\limits_A {{x_1}{y_1}dA}  = \int\limits_A {\left( {x \cdot \cos \alpha  + y \cdot \sin \alpha } \right) \cdot \left( {y \cdot \cos \alpha  - x \cdot \sin \alpha } \right)dA}  =  \hfill \\   = \int\limits_A {xy \cdot {{\cos }^2}\alpha  + {y^2} \cdot \sin \alpha  \cdot \cos \alpha  - {x^2} \cdot \sin \alpha  \cdot \cos \alpha  - xy \cdot {{\sin }^2}\alpha \,\,dA}  =  \hfill \\   = {I_{xy}} \cdot \left( {{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha } \right) + \left( {{I_x} - {I_y}} \right)\sin \alpha  \cdot \cos \alpha  = {I_{xy}}\cos 2\alpha  + \left( {{I_x} - {I_y}} \right)\frac{{\sin 2\alpha }}{2}. \hfill \\\end{gathered} \]

Окончательно имеем

\[\begin{gathered}  {I_{{x_1}}} = {I_x} \cdot {\cos ^2}\alpha  + {I_y} \cdot {\sin ^2}\alpha  - {I_{xy}} \cdot \sin 2\alpha , \hfill \\ {I_{{y_1}}} = {I_y} \cdot {\cos ^2}\alpha  + {I_x} \cdot {\sin ^2}\alpha  + {I_{xy}} \cdot \sin 2\alpha , \hfill \\ {I_{{x_1}{y_1}}} = {I_{xy}}\cos 2\alpha  + \left( {{I_x} - {I_y}} \right)\frac{{\sin 2\alpha }}{2}, \hfill \\ \end{gathered} \]

где $\alpha $ – угол поворота осей координат.

При добавлении осевых моментов инерции в возвращенных на угол $\alpha $ осям координат будем иметь

${I_{{x_1}}} + {I_{{y_1}}} = {I_x} + {I_y} = {I_\rho }$.

то Есть, при повороте осей сумма осевых моментов инерции не изменяется и равна полярному моменту инерции.