Заказать
задачу

Нормальные напряжения. Формула Навье

Нормальные напряжения. Формула Навье

При изгибе происходит искривление оси балки. При этом часть сечения подвергается деформациям растяжения, другая часть деформациям сжатия. Между этими частями находится нейтральный слой, продольные деформации в котором равны нулю. Таким образом, при изгибе нейтральный слой не изменяет своей длины.

Принимаем гипотезы:

гипотеза плоских сечений;

продольные волокна не давят друг на друга;

напряжения и деформации распределяются равномерно по ширине сечения.

Абсолютное удлинение слоя, который находится на расстоянии $y$ от нейтрального слоя

$\Delta dx = \left( {\rho  + y} \right) \cdot d\varphi  - \rho  \cdot d\varphi  = y \cdot d\varphi $.

Относительное удлинение точек на расстоянии $y$ от нейтрального слоя

$\varepsilon \left( y \right) = \frac{{\Delta dx}}{{dx}} = \frac{{y \cdot d\varphi }}{{\rho  \cdot d\varphi }} = \frac{y}{\rho }$.

$\varepsilon \left( y \right) = \frac{y}{\rho }$ закон Гука при изгибе.

Нормальные напряжения

$\sigma  = E\varepsilon  = E\frac{y}{\rho }$.

Таким образом, продольные напряжения и деформации точек балки при изгибе прямо пропорциональны их расстоянию от нейтрального слоя.

При этом неизвестным остается положение нейтрального слоя. Для его определения воспользуемся тем фактом, что при изгибе в сечении не возникает продольной силы ($N = 0$).

$N = \int\limits_A^{} \sigma  \,dA = \int\limits_A^{} {E\frac{y}{\rho }} \,dA = \frac{E}{\rho }\int\limits_A^{} y \,dA = \frac{E}{\rho } \cdot {S_z} = 0$,

где ${S_z}$ статический момент площади сечения относительно оси $z$.

Как следствие, ${S_z} = 0$, то есть ось $z$ должно быть центральной, то есть нейтральный слой проходит через центральные оси сечений.

Запишем выражение изгибающего момента ${M_z}$ в сечении в зависимости от напряжений $\sigma $. На элементарной площадке $dA$ возникает усилие $dF = \sigma dA$. Момент от этого усилия относительно оси $z$ (оси изгиба)

$dM = dF \cdot y$.

Интегрируем по площади сечения

${M_z} = \int\limits_A {dM}  = \int\limits_A {\sigma  \cdot ydA}  = \int\limits_A {\frac{E}{\rho }y \cdot ydA}  = \frac{E}{\rho }\int\limits_A {{y^2}dA}  = \frac{E}{\rho }{I_z}$,

где ${I_z} = \int\limits_A {{y^2}dA} $ момент инерции сечения относительно оси изгиба.

$$\frac{1}{\rho } = \frac{M_z}{E\,{I_z}}$$,

где $\frac{1}{\rho }$ кривизна балки;

$E\,{I_z}$ жесткость сечения при изгибе.

Нормальные напряжения

$\sigma  = \frac{1}{\rho } \cdot E \cdot y = \frac{{{M_z}}}{{E\,{I_z}}} \cdot E \cdot y = \frac{{{M_z}}}{{{I_z}}}y$.

Таким образом, нормальные напряжения при изгибе определяются как

$$\sigma  = \frac{{{M_z}}}{{{I_z}}}y$$  формула Навье

Максимальные нормальные напряжения в сечении будут возникать в наиболее удаленных от оси изгиба точках сечения.

$${\sigma _{\max }} = \frac{{{M_z}}}{{{I_z}}} \cdot {y_{_{\max }}} = \frac{{{M_z}}}{{{W_z}}}$$,

где ${W_z} = \frac{{{I_z}}}{{{y_{\max }}}}$ момент сопротивления сечения относительно оси изгиба.