Изгиб. Внутенние усилия при изгибе

Внутренние силы

После определения всех внешних (активных и реактивных) нагрузок можно приступать к задаче об определении напряжений.

Воспользуемся методом сечений. Рассмотрим часть балки, отсеченную сечением, который нас интересует, в котором будем потом определять напряжения. Поскольку балка после приложения внешних нагрузок находится в равновесии, то эти нагрузки должны компенсироваться действием искомых напряжений, которые передаются от отсеченной части.

Для того, чтобы каждый раз при определении напряжений не учитывать всю систему разнообразных нагрузок, последнюю целесообразно привести к стандартному виду. Как известно, любую систему сил в плоскости можно привести к силе, приложенной в определенной точке, и пары сил с соответствующим моментом. Для удобства будем приводить внешние нагрузки до центра тяжести рассматриваемого сечения балки.

Эти обобщенные усилия будем называть внутренними – в соответствии поперечной силой и гибочным моментом.

Поперечная сила Q – внутреннее усилие, равное алгебраической сумме проекций всех сил, расположенных по одну сторону сечения на нормаль к оси балки.

Изгибающий момент М – внутреннее усилие, равное алгебраической сумме моментов всех сил, расположенных по одну сторону сечения относительно его центра тяжести.

Знаки внутренних сил принимаются в соответствии с принципом деформирования балки.

Дифференциальные зависимости между гибочным моментом, 
 поперечной силой и поперечным нагрузкам

Рассмотрим равновесие части балки элементарной длиной dx, на которую действует произвольная распределенная нагрузка $q\left( x \right)$.

Сумма усилий, действующих в вертикальном направлении

\[\Sigma Y = Q\left( x \right) - q\left( x \right) \cdot dx - \left( {Q\left( x \right) + dQ} \right) = 0\].

Отсюда

\[dQ =  - q\left( x \right) \cdot dx\]

\[\frac{{dQ}}{{dx}} =  - q\left( x \right)\],

то есть производная от функции поперечной силы равна интенсивности распределенной нагрузки.

Сумма моментов относительно т. O

\[\Sigma {M_O} = Q\left( x \right) \cdot dx - q\left( x \right) \cdot dx \cdot \frac{{dx}}{2} + M\left( x \right) - \left( {M\left( x \right) + dM} \right) = 0\]

В этом уравнении слагаемое \[q\left( x \right) \cdot dx \cdot \frac{{dx}}{2}\] является бесконечно малой величиной второго порядка мализни, остальные слагаемые – первого порядка, поэтому указанным слагаемым можно пренебречь. Тогда

\[Q\left( x \right) \cdot dx - dM = 0\]

\[\frac{{dM}}{{dx}} = Q\left( x \right)\].

Таким образом, между внутренними силами и интенсивностью распределенной нагрузки существуют дифференциальные зависимости

\[\frac{{dM}}{{dx}} = Q\left( x \right)\]             \[\frac{{{d^2}M}}{{d{x^2}}} = \frac{{dQ}}{{dx}} =  - q\left( x \right)\].