Заказать
задачу

Главные центральные оси и моменты инерции

При повороте осей моменты инерции фигуры меняются. При определенном значении угла $\alpha $ один из моментов инерции будет иметь максимальное значение. Но поскольку сумма ${I_{{x_1}}} + {I_{{y_1}}}$ не меняется, то в это время другой момент инерции будет иметь минимальное значение. Определим моменты инерции на экстремум при изменении угла $\alpha $.

\[\begin{gathered}   \frac{{d\,{I_{{x_1}}}}}{{d\alpha }} = \frac{{d\left( {{I_x} \cdot {{\cos }^2}\alpha  + {I_y} \cdot {{\sin }^2}\alpha  - {I_{xy}} \cdot \sin 2\alpha } \right)}}{{d\alpha }} =  \hfill \\    =  - {I_x} \cdot 2\cos \alpha \sin \alpha  + {I_y} \cdot 2\sin \alpha \cos \alpha  - {I_{xy}} \cdot 2\cos 2\alpha  = 0, \hfill \\ \end{gathered} \] \[ - {I_x} \cdot \sin 2\alpha  + {I_y} \cdot \sin 2\alpha  = {I_{xy}} \cdot 2\cos 2\alpha ,\] \[\begin{gathered}   \frac{{\sin 2\alpha }}{{\cos 2\alpha }} = \frac{{2{I_{xy}}}}{{{I_y} - {I_x}}}, \hfill \\   tg2\alpha  = \frac{{2{I_{xy}}}}{{{I_y} - {I_x}}}. \hfill \\ \end{gathered} \]

Такое же значение угла получим, приравняв к нулю производную от момента инерции ${I_y}$. Таким образом, относительно осей, возвращенных на угол $\alpha $ осевые моменты инерции будут иметь экстремальные значения. Определим значение центробежного момента инерции в этом случае.

 

\[\begin{gathered}  {I_{{x_1}{y_1}}} = {I_{xy}}\cos 2\alpha  + \left( {{I_x} - {I_y}} \right)\frac{{\sin 2\alpha }}{2} = \cos 2\alpha \left( {{I_{xy}} + \left( {{I_x} - {I_y}} \right)\frac{{\sin 2\alpha }}{{2\cos 2\alpha }}} \right) =  \hfill \\ = \cos 2\alpha \left( {{I_{xy}} + \frac{{\left( {{I_x} - {I_y}}  \right)}}{2}\frac{{2{I_{xy}}}}{{{I_y} - {I_x}}}} \right) = 0. \hfill \\ \end{gathered} \]

В инженерной практике расчетов важное значение занимают главные центральные оси, центробежный момент инерции относительно которых равен нулю.

Плоскость, проведенная через ось стержня и его главные оси инерции носит название главной плоскости сечения.



>