Центр тяжести

Статические моменты площади сечения. Центр тяжести площади сечения

Рассмотрим произвольное поперечное сечение стержня, связанный с координатными осями $XOY$ и выделим элемент площади $dA$ с координатами ($x,y$).

Статическим моментом площади сечения относительно оси называется сумма (интеграл) по всей площади сечения от произведения площади элементарной площадки на расстояние до рассматриваемой оси.

${S_x} = \int\limits_A {ydA} $;        ${S_y} = \int\limits_A {xdA} $ (см3).

Для сечений, для которых известны площади $A$ и координаты центров тяжести ${y_c}$, ${x_c}$, статические моменты площадей рассчитываются по формулам:

${S_x} = {y_c}A$;                ${S_y} = {x_c}A$.                

Статический момент площади сечения может быть положительным, отрицательным и равняться нулю.

Оси, относительно которых статические моменты площади сечения равны нулю, называются центральными.

 

Примеры определения статических моментов

Треугольник.

Поскольку положение центра тяжести треугольника нам известно, его статический момент площади можно определить как произведение площади на соответствующую координату центра тяжести.

Четверть круга.

Поскольку положение центра тяжести четверти круга мы не знаем, определим статические моменты по общей формуле. Выделим элементарную площадь $dA$ с углом $d\varphi $ и высотой $dr$. Ширина площадки $ds = r \cdot d\varphi \,$.

Статический момент

\[{S_x} = \int\limits_A {ydA}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\,\,\int\limits_0^R {r \cdot \sin \varphi  \cdot r \cdot d\varphi  \cdot dr} }  = \int\limits_0^R {\left( {\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin \varphi  \cdot d\varphi } } \right)}  \cdot {r^2} \cdot dr = \int\limits_0^R {{r^2} \cdot dr}  = \frac{{{R^3}}}{3}\],

где \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin \varphi  \cdot d\varphi }  =  - \left( {\cos \frac{\pi }{2} - \cos 0} \right) =  - \left( {0 - 1} \right) = 1\].

Площадь $A = \frac{1}{4} \cdot \pi {R^2}$.

Координата центра тяжести ${y_c} = \frac{{{S_x}}}{A} = \frac{{4R}}{{3\pi }}$.

Аналогично относительно другой оси ${x_c} = \frac{{{S_y}}}{A} = \frac{{4R}}{{3\pi }}$.

Статический момент составного сечения равен сумме статических моментов его составляющих.

${S_x} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{({S_x})}_i}}  = \sum\limits_{i = 1}^n {{y_i} \cdot {A_i}} $;                ${S_y} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{({S_y})}_i}}  = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i} \cdot {A_i}} $.

Тогда положение центра тяжести составного сечения запишется так:

${x_c} = \frac{{{x_1} \cdot {A_1} + {x_2} \cdot {A_2} + ... + {x_n} \cdot {A_n}}}{A};\,\,\,\,\,\,{y_c} = \frac{{{y_1} \cdot {A_1} + {y_2} \cdot {A_2} + ... + {y_n} \cdot {A_n}}}{A}$

Новости сайта:

19-03-2017 00:00

Процент по партнерской программе увеличен до 30%.


17-03-2017 09:00

Добавлены опции в расчете рам и ферм.

Теперь можно нажатием одной кнопки:

  • убрать все нагрузки либо опоры
  • сделать соединения всех узлов шарнирными либо жесткими
  • скопировать / вставить расчетную схему

Напоминаем, несколькими днями ранее добавлена возможность задания треугольной (трапециедальной) распределенной нагрузки.


16-03-2017 06:02

Хорошая новость! В расчете ферм добавлена возможность задания треугольной нагрузки.


17-01-2017 23:00

В расчете на растяжение-сжатие появилась возможность задавать распределенную нагрузку q


08-01-2017 00:00

Добавлен калькулятор двойной (билинейной) интерполяции и Косой изгиб, подбор сечения


04-01-2017 20:44

Обратите внимание на расчет балок - теперь уравнения внутренних сил расписаны еще более корректно, для консольнх балок всегда производится запись уравнений с незакрепленного края.


01-01-2017 00:00

С НОВЫМ ГОДОМ !!!


21-11-2016 22:00

Подправлен расчет геометрических характеристик - теперь текстовые пояснения более расписаны и аккуратны.